Derive as funções a seguir
y=2 x \log _{10} \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=2x\log_{10}\sqrt{x}
e pede a derivada \dfrac{dy}{dx}. Informação importante sobre o domínio: a expressão envolve \sqrt{x} e \log_{10}(\cdot), portanto devemos ter x>0.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão usando uma propriedade básica de logaritmos: para qualquer base a>0 e qualquer expoente k,
\log_{a}(u^{k})=k\log_{a}u.
Aplicando isso a \log_{10}\sqrt{x}=\log_{10}(x^{1/2}) obtemos
\log_{10}\sqrt{x}=\frac{1}{2}\log_{10}x.

Passo 3

Substituindo essa simplificação em y resulta
y=2x\cdot\frac{1}{2}\log_{10}x = x\log_{10}x.
Assim a função ficou mais simples: y=x\log_{10}x.

Passo 4

Para derivar y=x\log_{10}x vou usar a regra do produto. A regra do produto diz: para duas funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),
onde u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v respectivamente.
Aqui tomo u(x)=x e v(x)=\log_{10}x. As derivadas básicas são fáceis:
u'(x)=\frac{d}{dx}x=1.

Passo 5

Falta v'(x)=\dfrac{d}{dx}\log_{10}x. Para isso uso a fórmula geral para derivada de logaritmo de base a:
\frac{d}{dx}\log_{a}x=\frac{1}{x\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural. Tomando a=10 obtemos
v'(x)=\frac{1}{x\ln 10}.

Passo 6

Agora aplico a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot\log_{10}x + x\cdot\frac{1}{x\ln 10}.
Simplificando o segundo termo, x\cdot\frac{1}{x\ln 10}=\dfrac{1}{\ln 10}. Logo
\frac{dy}{dx}=\log_{10}x+\frac{1}{\ln 10}.

Resposta

\displaystyle \log_{10}x+\frac{1}{\ln 10}

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