Derive as funções a seguir
y=\log _{2}\left(e^{-x} \cos \pi x\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: y=\log_{2}\bigl(e^{-x}\cos\pi x\bigr).
  • Pedido: calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou y') dessa função.
    Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função dentro do logaritmo é u(x)=e^{-x}\cos\pi x.
  • Lembrar que para \log_{2}(u) é preciso ter u>0 (domínio real).
    Nada mais será assumido além disso.

Passo 2

Mudar a base do logaritmo para o logaritmo natural, porque é prática comum para derivar:
\log_{2}\bigl(u\bigr)=\frac{\ln\bigl(u\bigr)}{\ln 2}.
Aplicando isso à nossa função:
y=\frac{1}{\ln 2}\,\ln\bigl(u(x)\bigr), \qquad\text{onde}\qquad u(x)=e^{-x}\cos\pi x.
Comentário didático: trocar para \ln facilita porque já existe a regra pronta para derivar \ln.

Passo 3

Regra da cadeia aplicada ao logaritmo natural:
  • Se y=\dfrac{1}{\ln 2}\ln\bigl(u(x)\bigr), então usando que \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u},
    temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.
A explicação: a derivada de \ln(u(x)) é a derivada de \ln avaliada em u (que é 1/u) multiplicada por u'(x) — isso é a regra da cadeia.

Passo 4

Calcular u'(x) usando a regra do produto (produto de e^{-x} por \cos\pi x):
  • Regra do produto: (fg)'=f'g+fg'.
  • Derivadas básicas que vamos usar:
    • \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
    • \dfrac{d}{dx}\cos\pi x = -\pi\sin\pi x (regra da cadeia para trigonometria).
      Então
u'(x) = (e^{-x})' \cos\pi x + e^{-x}(\cos\pi x)' = -e^{-x}\cos\pi x + e^{-x}\bigl(-\pi\sin\pi x\bigr).
Colocando fator comum e^{-x}:
u'(x)=e^{-x}\bigl(-\cos\pi x - \pi\sin\pi x\bigr).

Passo 5

Formar a razão \dfrac{u'(x)}{u(x)} e simplificar:
  • Lembrar que u(x)=e^{-x}\cos\pi x.
  • Assim,
\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{e^{-x}\bigl(-\cos\pi x - \pi\sin\pi x\bigr)}{e^{-x}\cos\pi x}.
Corta-se e^{-x} (sempre positivo, então não altera sinais) e obtém-se
\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-\cos\pi x - \pi\sin\pi x}{\cos\pi x}=-1-\pi\frac{\sin\pi x}{\cos\pi x}.
Reconhecendo a tangente:
\frac{u'(x)}{u(x)}=-1-\pi\tan\pi x.
Pequena nota didática: dividir soma pelo mesmo denominador permite separar em duas parcelas; \dfrac{\sin}{\cos}=\tan.

Passo 6

Voltar à expressão da derivada usando o fator \dfrac{1}{\ln 2}:
  • Substituindo \dfrac{u'(x)}{u(x)} na fórmula de \dfrac{dy}{dx} do Passo 3, obtém-se a forma final da derivada (aqui não vou reafirmar a expressão final; a montagem está completa: multiplicar \dfrac{1}{\ln 2} por -1-\pi\tan\pi x).

Passo 7

Domínio e observações úteis para a prova:
  • A expressão original exige e^{-x}\cos\pi x>0. Como e^{-x}>0 para todo x, a condição reduz-se a \cos\pi x>0.
  • Portanto a função (e sua derivada) só fazem sentido real para x tais que \cos\pi x>0, i.e., em intervalos abertos \bigl(2k-\tfrac12,2k+\tfrac12\bigr) multiplicados por escalar conforme período (mais diretamente: para x em intervalos onde \cos\pi x é positiva).
  • Pontos onde \cos\pi x=0 (onde \tan\pi x não existe) estão fora do domínio e a derivada também não existe aí.
  • Na prova: sempre verifique domínio antes de escrever a derivada final; cancelamentos de fatores (como e^{-x}) só podem ser feitos sabendo que não são zero.

Resposta

\displaystyle y'=-\frac{1+\pi\tan\pi x}{\ln 2}

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