Derive as funções a seguir
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
. - Pedido: calcular a derivada
(ou ) dessa função.
Informações relevantes que temos do enunciado: - A função dentro do logaritmo é
. - Lembrar que para
é preciso ter (domínio real).
Nada mais será assumido além disso.
Passo 2
Mudar a base do logaritmo para o logaritmo natural, porque é prática comum para derivar:
Aplicando isso à nossa função:
Comentário didático: trocar para
facilita porque já existe a regra pronta para derivar
.
Passo 3
Regra da cadeia aplicada ao logaritmo natural:
- Se
, então usando que ,
temos
A explicação: a derivada de
é a derivada de
avaliada em
(que é
) multiplicada por
— isso é a regra da cadeia.
Passo 4
Calcular
usando a regra do produto (produto de
por
):
- Regra do produto:
. - Derivadas básicas que vamos usar:
-
. -
(regra da cadeia para trigonometria).
Então
-
Colocando fator comum
:
Passo 5
Formar a razão
e simplificar:
- Lembrar que
. - Assim,
Corta-se
(sempre positivo, então não altera sinais) e obtém-se
Reconhecendo a tangente:
Pequena nota didática: dividir soma pelo mesmo denominador permite separar em duas parcelas;
.
Passo 6
Voltar à expressão da derivada usando o fator
:
- Substituindo
na fórmula de do Passo 3, obtém-se a forma final da derivada (aqui não vou reafirmar a expressão final; a montagem está completa: multiplicar por ).
Passo 7
Domínio e observações úteis para a prova:
- A expressão original exige
. Como para todo , a condição reduz-se a . - Portanto a função (e sua derivada) só fazem sentido real para
tais que , i.e., em intervalos abertos multiplicados por escalar conforme período (mais diretamente: para em intervalos onde é positiva). - Pontos onde
(onde não existe) estão fora do domínio e a derivada também não existe aí. - Na prova: sempre verifique domínio antes de escrever a derivada final; cancelamentos de fatores (como
) só podem ser feitos sabendo que não são zero.