Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=2^{\cos (\pi x)};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=2^{\cos(\pi x)}
usando a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar que, para uma função da forma a^{u(x)}, vale
\frac{d}{dx}\bigl(a^{u(x)}\bigr)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x),
além de conhecer \frac{d}{dx}\cos(\pi x).

Passo 2

Definimos a função externa e a interna:
g(u)=2^u, \quad u(x)=\cos(\pi x).
Logo,
g'(u)=2^u\ln(2),
e a derivada de u(x) é
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos(\pi x)=-\sin(\pi x)\cdot\pi.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x) =2^{\cos(\pi x)}\ln(2)\;\bigl(-\pi\sin(\pi x)\bigr).
Simplificando o sinal,
f'(x)=-\pi\ln(2)\;2^{\cos(\pi x)}\sin(\pi x).

Resposta

f'(x)=-\pi\ln(2)\,2^{\cos(\pi x)}\sin(\pi x)

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