Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=e^{x \cos (x)};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{\,x\cos(x)}
Usaremos a regra da cadeia para funções compostas e, dentro dela, a regra do produto para derivar u(x)=x\cos(x).

Passo 2

Para uma função composta da forma f(x)=e^{u(x)}, a regra da cadeia diz que
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\;u'(x).

Passo 3

Aqui u(x)=x\cos(x). Aplicando a regra do produto,
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\cdot\cos(x)+x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr) =\;1\cdot\cos(x)+x\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr) =\cos(x)-x\sin(x).

Passo 4

Substituindo u(x)=x\cos(x) e u'(x)=\cos(x)-x\sin(x) na derivada de e^{u(x)}, obtemos
f'(x) =e^{\,u(x)}\;u'(x) =e^{\,x\cos(x)}\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{\,x\cos(x)}\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr).

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