Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=\left(1+x^{4}\right)^{\frac{2}{3}};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(1 + x^{4}\bigr)^{\tfrac{2}{3}}
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos identificar a função interna e a função externa e depois aplicar a derivada composta.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 1 + x^{4}
e a função externa
v(u) = u^{\tfrac{2}{3}}.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x) = v'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).
Logo, precisamos calcular v'(u) e u'(x).

Passo 4

Derivada da função externa em relação a u:
v'(u) = \frac{d}{du}\bigl(u^{\tfrac{2}{3}}\bigr) = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}\,u^{-\tfrac{1}{3}}.
Derivada da função interna em relação a x:
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(1 + x^{4}\bigr) = 4x^{3}.

Passo 5

Substituindo em f'(x) = v'(u(x))\,u'(x), temos
f'(x) = \frac{2}{3}\,\bigl(1 + x^{4}\bigr)^{-\tfrac{1}{3}} \cdot 4x^{3} = \frac{8}{3}\,x^{3}\,\bigl(1 + x^{4}\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.

Resposta

f'(x) = \frac{8}{3}\,x^{3}\,\bigl(1 + x^{4}\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.

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