Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=\sqrt[3]{1-\operatorname{tg}(x)};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[3]{1-\tan(x)}
usando a regra da cadeia. O conteúdo envolve reconhecer a função composta f(x)=g(u(x)) com g(u)=u^{1/3} e u(x)=1-\tan(x), e aplicar a derivada de potência e a derivada de \tan(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 1 - \tan(x)
e a função externa
g(u) = u^{1/3}.
Logo, f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada da função externa g(u)=u^{1/3} em relação a u. Pela regra de potência,
g'(u) = \frac{1}{3}\,u^{-2/3}.

Passo 4

Agora derivamos a função interna u(x)=1-\tan(x). Como a derivada de \tan(x) é \operatorname{sec}^2(x),
u'(x) = 0 - \operatorname{sec}^2(x) = -\operatorname{sec}^2(x).

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x). Substituindo,
f'(x) = \frac{1}{3}\bigl(u(x)\bigr)^{-2/3}\,\bigl(-\operatorname{sec}^2(x)\bigr) = -\frac{\operatorname{sec}^2(x)}{3\,(1-\tan(x))^{2/3}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{\operatorname{sec}^2(x)}{3\,(1-\tan(x))^{2/3}}.

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