Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=\left(x^{3}+4 x\right)^{7};

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\bigl(x^{3}+4x\bigr)^{7}
usando a regra da cadeia. O conteúdo envolvido é diferenciação de função composta, em que identificamos uma função externa h(u)=u^{7} e uma função interna g(x)=x^{3}+4x.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia, que diz
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Aqui temos h(u)=u^{7}, logo
h'(u)=7u^{6},
e u=g(x)=x^{3}+4x.

Passo 3

Agora calculamos a derivada da parte interna g(x)=x^{3}+4x. Usando a soma e a potência, obtemos
g'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3})+\frac{d}{dx}(4x)=3x^{2}+4.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x), temos
f'(x)=7\bigl(x^{3}+4x\bigr)^{6}\,\bigl(3x^{2}+4\bigr).

Resposta

f'(x)=7\bigl(x^{3}+4x\bigr)^{6}\,(3x^{2}+4).

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