Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=\frac{1}{\left(x^{4}+1\right)^{3}};

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a derivada de
f(x)=\frac{1}{\bigl(x^{4}+1\bigr)^{3}}
Aplicaremos a regra da cadeia, pois temos uma composição de funções: uma potência de outra função.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como potência para identificar claramente a parte interna e a externa:
f(x) = (x^{4}+1)^{-3}.
Logo, podemos definir
u(x) = x^{4}+1 \quad\text{e}\quad h(u) = u^{-3},
de modo que f(x) = h\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos agora as derivadas de cada parte:
– Derivada da parte interna
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+1\bigr) = 4x^{3}.
– Derivada da parte externa em função de u
h'(u) = \frac{d}{du}\bigl(u^{-3}\bigr) = -3\,u^{-4}.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x) = h'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x) = \bigl(-3\,(x^{4}+1)^{-4}\bigr)\,\cdot\,\bigl(4x^{3}\bigr).

Passo 5

Simplificando o produto:
f'(x) = -12\,x^{3}\,(x^{4}+1)^{-4} = -\frac{12\,x^{3}}{(x^{4}+1)^{4}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{12\,x^{3}}{(x^{4}+1)^{4}}.

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