Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x \cos (x)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{\sin(x)}{x\cos(x)}.
O conteúdo principal é aplicar a regra do quociente junto com a regra do produto (para derivar o denominador).

Passo 2

Definimos
u(x)=\sin(x), \quad v(x)=x\cos(x).
Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\cos(x),
e, usando regra do produto em v(x)=x\cos(x),
v'(x)=1\cdot\cos(x)+x\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr) =\cos(x)-x\sin(x).

Passo 4

Substituindo em
f'(x) =\frac{\cos(x)\,x\cos(x)-\sin(x)\,\bigl[\cos(x)-x\sin(x)\bigr]}{\bigl[x\cos(x)\bigr]^{2}},
temos no numerador
\cos(x)\,x\cos(x)=x\cos^2(x), \quad -\sin(x)\cos(x)=-\sin(x)\cos(x), \quad -\sin(x)\bigl[-x\sin(x)\bigr]=+x\sin^2(x).

Passo 5

Agrupando termos no numerador:
x\cos^2(x)+x\sin^2(x)-\sin(x)\cos(x) =x\bigl[\cos^2(x)+\sin^2(x)\bigr]-\sin(x)\cos(x) =x-\sin(x)\cos(x).
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f'(x) =\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{x^2\cos^2(x)}.

Resposta

f'(x)=\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{x^2\cos^2(x)}.

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