Derive as funções, utilizando a regra da cadeia.
f(x)=4 \operatorname{sec} (5 x);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=4\operatorname{sec}\bigl(5x\bigr)
usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivar uma função composta envolvendo a função trigonométrica \operatorname{sec}(u). Vamos precisar saber que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{sec}(u)\bigr]=\operatorname{sec}(u)\,\tan(u)
e aplicar a regra da cadeia para u(x)=5x.

Passo 2

Isolamos o fator constante e escrevemos
f'(x)=4\;\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(5x)\bigr].

Passo 3

Aplicamos a derivada da secante por cadeia. Se u(x)=5x, então u'(x)=5 e
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(5x)\bigr] =\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{sec}(u)\bigr]\biggr|_{u=5x}\cdot u'(x) =\operatorname{sec}(5x)\,\tan(5x)\cdot5.

Passo 4

Multiplicamos pelo fator 4 e simplificamos:
f'(x)=4\cdot\bigl(5\operatorname{sec}(5x)\tan(5x)\bigr) =20\operatorname{sec}(5x)\tan(5x).

Resposta

f'(x)=20\operatorname{sec}(5x)\tan(5x).

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