Derive implicitamente as funçôes abaixo para determinar d yd x, partial zpartial x e partial zpartial y, (2,0 pontos)
y^3+x^2 y^2=1+y e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação e precisamos encontrar as derivadas , e usando derivação implícita. A derivação implícita é uma técnica que usamos quando está definido em termos de de forma complicada, e a gente quer achar a derivada sem isolar o . Vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a ddx(y^3) + ddx(x^2 y^2) . Lembre-se que = 3y^2 dydx + (2x y^2 + x^2 cdot 2y dydx) é uma função de ddx(1) + ddx(y e^2x) , então quando derivarmos termos com = 0 + e^2x dydx + y cdot 2e^2x , precisamos aplicar a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:

Passo 3

Agora, juntamos tudo:
3y^2 dydx + 2x y^2 + 2x^2 y dydx = e^2x dydx + 2y e^2x
Queremos isolar 3y^2 dydx + 2x^2 y dydx - e^2x dydx = 2y e^2x - 2x y^2 . Vamos reunir todos os termos com dydx (3y^2 + 2x^2 y - e^2x) = 2y e^2x - 2x y^2 de um lado e os demais termos do outro lado:
Fatorando :

Passo 4

Finalmente, isolamos dydx = 2y e^2x - 2x y^23y^2 + 2x^2 y - e^2x dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

A derivada dydx = 2y e^2x - 2x y^23y^2 + 2x^2 y - e^2x é dada por:

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