(a) gamma é o retângulo de vértices (0,0), (0,1), (2,1) e (2,0) ; T(x,y)=(3x, 5y).
(b) gamma é o círculo x^2 + y^2 = 1 ; T(x, y) = (3x, 5y).
© gamma é o triângulo de vértices (0,0), (3,6), e (9,4) ; T(x, y) = (y / 2, x / 3).
(d) gamma é a reta 3x - 2y = 4 ; T(x, y) = (y / 2, x / 3).
(e) gamma é a reta x + 2y = 1 ; T(x, y) = (x - y, 2x + 3y).
(f) gamma é o quadrado de vértices (0,0), (1,-1), (2,0) e (1,1) ; T(x,y) = (5x + 4y, 2x - 3y).
(g) gamma é o círculo x^2 + y^2 = 1 ; T(x, y) = (5x + 4y, 2x - 3y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um retângulo chamado gamma com os vértices nas coordenadas (0,0), 0,1, (2,1) e 2,0. A transformação que vamos aplicar é . Ou seja, para cada ponto do retângulo, vamos multiplicar a coordenada x por 3 e a coordenada y por 5. Vamos usar conhecimentos de transformações lineares para entender como essa transformação afeta o retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T em cada um dos vértices do retângulo gamma. Isso vai nos dar os novos vértices do retângulo transformado.
  • Aplicando T em (0,0):
  • Aplicando T em 0,1:
  • Aplicando T em (2,1):
  • Aplicando T em 2,0:

Passo 3

Agora que temos os novos vértices (0,0), 0,5, e 6,0, vamos ver como o retângulo mudou. A transformação T alongou o retângulo original nas direções x e y.

Passo 4

Vamos calcular a área original do retângulo gamma. Como é um retângulo, a área �� base vezes altura:
Á

Passo 5

A transformação T é uma transformação linear que escala as coordenadas. O fator de escala na direção x é 3 e na direção y é 5. O fator de escala da área será o produto desses fatores:
á

Passo 6

Portanto, a área do retângulo transformado será:
ÁÁ

Resposta

Após aplicar a transformação , o retângulo original gamma passa a ter vértices em (0,0), 0,5, e 6,0, e sua área aumenta para unidades quadradas.

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