Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, usamos o teste dos caminhos para verificar se o limite existe quando
se aproxima de
. Para isso, vamos ver o que acontece com o limite ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão mudando de coordenadas. Fazendo
, o ponto
vira
, e a expressão fica:
Agora, queremos ver o comportamento desse limite quando
.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de
:
- Caminho 1:
- Caminho 2:
Passo 4
Caminho 1:
Substituindo
na expressão:
Então, pelo Caminho 1, o limite é
.
Passo 5
Caminho 2:
Substituindo
na expressão:
Então, pelo Caminho 2, o limite também é
.
Passo 6
Vamos tentar um caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos escolher:
Caminho 3:
Substituindo
:
Aqui, o limite pelo Caminho 3 é
.
Passo 7
Observamos que pelo Caminho 1 e 2 o limite é
, mas pelo Caminho 3 o limite é
. Como obtivemos resultados diferentes ao usar caminhos diferentes, isso significa que o limite não é o mesmo por todos os caminhos.
Resposta
Portanto, usando o teste dos caminhos, provamos que o limite
não existe.