(2,0) Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limite lim (x, y) (-1,0) (x+1)^2 y(x+1)^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (-1,0) (x+1)^2 y(x+1)^4+y^2
Aqui, usamos o teste dos caminhos para verificar se o limite existe quando se aproxima de . Para isso, vamos ver o que acontece com o limite ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão mudando de coordenadas. Fazendo u^2 yu^4 + y^2, o ponto vira , e a expressão fica:
Agora, queremos ver o comportamento desse limite quando .

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de :
  1. Caminho 1:
  2. Caminho 2:

Passo 4

Caminho 1: u^2 cdot 0u^4 + 0^2 = 0u^4 = 0
Substituindo na expressão:
Então, pelo Caminho 1, o limite é .

Passo 5

Caminho 2: 0^2 cdot y0^4 + y^2 = 0y^2 = 0
Substituindo na expressão:
Então, pelo Caminho 2, o limite também é .

Passo 6

Vamos tentar um caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos escolher:
Caminho 3: u^2 cdot u^2u^4 + (u^2)^2 = u^4u^4 + u^4 = u^42u^4 = 12
Substituindo :
Aqui, o limite pelo Caminho 3 é .

Passo 7

Observamos que pelo Caminho 1 e 2 o limite é , mas pelo Caminho 3 o limite é . Como obtivemos resultados diferentes ao usar caminhos diferentes, isso significa que o limite não é o mesmo por todos os caminhos.

Resposta

Portanto, usando o teste dos caminhos, provamos que o limite
lim (x, y) (-1,0) (x+1)^2 y(x+1)^4+y^2
não existe.

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