Seja
f(x)= \begin{cases}x^{2}+x, & \text { se }-1<x<0 \\\ \operatorname{tg}(x), & \text { se } 0 \leq x<\frac{\pi}{4}\end{cases}
a) f é contínua em x=0 ? Justifique sua resposta.
b) f é derivável em x=0 ? Justifique sua resposta.
c) Calcule f^{\prime}(x) para x \neq 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}+x, & \text{se }-1<x<0,\\[4pt] \operatorname{tg}(x), & \text{se }0\le x<\dfrac{\pi}{4}.\end{cases}
As perguntas são:
a) f é contínua em x=0? Justificar.
b) f é derivável em x=0? Justificar.
c) Calcular f'(x) para x\neq 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O ramo que vale em x=0 é o segundo, logo o valor de f em 0 é f(0)=\operatorname{tg}(0).
  • As expressões que valem próximas de 0 à esquerda e à direita são x^{2}+x (para x<0) e \operatorname{tg}(x) (para x>0 suficientemente pequeno).]

Passo 2

Definição de continuidade num ponto (mini-aula): uma função f é contínua em x=0 se
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Como f é definida por partes, é suficiente verificar os limites laterais \lim_{x\to 0^-}f(x) e \lim_{x\to 0^+}f(x) e que ambos são iguais ao valor f(0).

Passo 3

Cálculo dos limites laterais e do valor f(0):
  • Pelo enunciado, f(0)=\operatorname{tg}(0). Usando que \operatorname{tg}(0)=0, temos f(0)=0.
  • Limite pela esquerda: para x<0 próximo de 0 vale f(x)=x^{2}+x. Então
\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} (x^{2}+x) = \lim_{x\to 0^-} x(x+1).
Como \lim_{x\to 0^-} x=0 e \lim_{x\to 0^-}(x+1)=1, pelo produto
\lim_{x\to 0^-} f(x)=0\cdot 1=0.
  • Limite pela direita: para x>0 pequeno vale f(x)=\operatorname{tg}(x). Sabendo que \lim_{x\to 0}\operatorname{tg}(x)=\operatorname{tg}(0)=0, obtemos
\lim_{x\to 0^+} f(x)=0.

Passo 4

Conclusão sobre continuidade (mini-explicação): como
\lim_{x\to 0^-} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=0,\qquad f(0)=0,
os limites laterais existem, coincidem entre si e com f(0). Portanto f é contínua em x=0.

Passo 5

Definição de derivada em um ponto e estratégia (mini-aula): f é derivável em x=0 se o limite
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
existe. Para funções definidas por partes é comum calcular as derivadas laterais (um-lados):
f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h},\qquad f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h},
e verificar se f'_-(0)=f'_+(0). Se iguais, esse valor é f'(0).

Passo 6

Cálculo da derivada pela esquerda usando a definição (detalhado):
Para h<0 pequeno f(h)=h^{2}+h e f(0)=0. Então
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^{2}+h-0}{h}=h+1.
Agora tomamos o limite quando h\to 0^-:
f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}(h+1)=0+1=1.
Portanto a derivada lateral à esquerda em 0 é 1.

Passo 7

Cálculo da derivada pela direita usando a definição (detalhado):
Para h>0 pequeno f(h)=\operatorname{tg}(h) e f(0)=0. Então
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\operatorname{tg}(h)}{h}.
Usamos o limite clássico (explicação rápida): \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1 e \operatorname{tg}(h)=\dfrac{\sin h}{\cos h}, logo
\frac{\operatorname{tg}(h)}{h}=\frac{\sin h}{h}\cdot\frac{1}{\cos h}.
Como \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}=1 e \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{\cos h}=1, obtemos
f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{\operatorname{tg}(h)}{h}=1\cdot 1=1.
Portanto a derivada lateral à direita em 0 é 1.

Passo 8

Conclusão sobre derivabilidade em 0: visto que
f'_-(0)=1=f'_+(0),
as derivadas laterais existem e coincidem. Logo f é derivável em x=0 e f'(0)=1.

Passo 9

Cálculo de f'(x) para x\neq 0 (mini-aula de regras de derivação):
  • Para uma função polinomial g(x)=x^{2}+x, a regra básica da diferenciação dá g'(x)=2x+1. Aqui x está no intervalo (-1,0).
  • Para h(x)=\operatorname{tg}(x), a regra conhecida é h'(x)=\operatorname{sec}^{2}x, onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}; portanto \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}. Isso vale para x em (0,\tfrac{\pi}{4}).
Assim, para x\neq 0 temos a derivada por partes:
f'(x)=\begin{cases}2x+1, & \text{se }-1<x<0,\\[4pt] \operatorname{sec}^{2}x, & \text{se }0<x<\dfrac{\pi}{4}.\end{cases}]

Resposta

a) Sim.
b) Sim.
c) f'(x)=\begin{cases}2x+1, & -1<x<0,\\[4pt]\operatorname{sec}^{2}x, & 0<x<\dfrac{\pi}{4}.\end{cases}]

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