As perguntas são:
a) f é contínua em x=0? Justificar.
b) f é derivável em x=0? Justificar.
c) Calcular f'(x) para x\neq 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O ramo que vale em x=0 é o segundo, logo o valor de f em 0 é f(0)=\operatorname{tg}(0).
As expressões que valem próximas de 0 à esquerda e à direita são x^{2}+x (para x<0) e \operatorname{tg}(x) (para x>0 suficientemente pequeno).]
Passo 2
Definição de continuidade num ponto (mini-aula): uma função f é contínua em x=0 se
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Como f é definida por partes, é suficiente verificar os limites laterais \lim_{x\to 0^-}f(x) e \lim_{x\to 0^+}f(x) e que ambos são iguais ao valor f(0).
Passo 3
Cálculo dos limites laterais e do valor f(0):
Pelo enunciado, f(0)=\operatorname{tg}(0). Usando que \operatorname{tg}(0)=0, temos f(0)=0.
Limite pela esquerda: para x<0 próximo de 0 vale f(x)=x^{2}+x. Então
as derivadas laterais existem e coincidem. Logo f é derivável em x=0 e f'(0)=1.
Passo 9
Cálculo de f'(x) para x\neq 0 (mini-aula de regras de derivação):
Para uma função polinomial g(x)=x^{2}+x, a regra básica da diferenciação dá g'(x)=2x+1. Aqui x está no intervalo (-1,0).
Para h(x)=\operatorname{tg}(x), a regra conhecida é h'(x)=\operatorname{sec}^{2}x, onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}; portanto \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}. Isso vale para x em (0,\tfrac{\pi}{4}).