Derive f(x, y) em relação a x e y:
a) f(x, y)=10 xx^2+y^2
Resp.: partial fpartial x=-10(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2
partial fpartial y=-20 x y(x^2+y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos a função $ f(x, y) = \frac{10x}{x^{2} + y^{2}} $ e queremos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $ e $ y $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos usar a Regra do Quociente, que é muito útil quando temos uma função na forma de divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar $ f(x, y) $ em relação a $ x $. A função está na forma $ \frac{u}{v} $, onde $ u = 10x $ e $ v = x^{2} + y^{2} $. A Regra do Quociente nos diz que:
f(x, y)
Vamos calcular cada parte:
  • $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(10x) = 10 $
  • $ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2} + y^{2}) = 2x $
Agora, substituímos na fórmula:
x
Simplificando:
uv

Passo 3

Agora, vamos derivar $ f(x, y) $ em relação a $ y $. Usando novamente a Regra do Quociente:
f(x, y)
Aqui:
  • $ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(10x) = 0 $ (porque $ x $ é tratado como constante)
  • $ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2} + y^{2}) = 2y $
Substituindo na fórmula:
y

Resposta

As derivadas parciais de $ f(x, y) = \frac{10x}{x^{2} + y^{2}} $ são:
f(x, y) = 10xx^2 + y^2
partial fpartial x = -10(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2

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