Dados os vectores a=4 i-2 j+4 k e b=6 i-3 j+2 k ache o produto escalar dos vectores 2 a-3 b e a+2 b

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de produto escalar! A gente tem dois vetores:
a = 4,i - 2,j + 4,k
b = 6,i - 3,j + 2,k
O que a gente precisa fazer é encontrar o produto escalar (ou dot product) dos vetores 2a - 3b e a + 2b. Para isso, vamos precisar saber como fazer combinações de vetores e calcular o produto escalar entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores 2a - 3b e a + 2b. Para isso, multiplicamos cada componente dos vetores a e b pelos escalares e depois subtraímos ou somamos as componentes correspondentes.
Vamos calcular 2a:
2a = 2 times (4,i - 2,j + 4,k) = 8,i - 4,j + 8,k
Agora, 3b:
3b = 3 times (6,i - 3,j + 2,k) = 18,i - 9,j + 6,k
Então, 2a - 3b:
2a - 3b = (8,i - 4,j + 8,k) - (18,i - 9,j + 6,k) = -10,i + 5,j + 2,k
Agora, vamos calcular a + 2b:
2b = 2 times (6,i - 3,j + 2,k) = 12,i - 6,j + 4,k
a + 2b = (4,i - 2,j + 4,k) + (12,i - 6,j + 4,k) = 16,i - 8,j + 8,k

Passo 3

Agora que temos os dois vetores resultantes, 2a - 3b = -10,i + 5,j + 2,k e a + 2b = 16,i - 8,j + 8,k, vamos calcular o produto escalar entre eles.
O produto escalar entre dois vetores u = u1,i + u2,j + u3,k e v = v1,i + v2,j + v3,k é dado por:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Isso significa que multiplicamos as componentes correspondentes e somamos os resultados.

Passo 4

Aplicando essa fórmula aos vetores que temos:
( -10 ) times 16 + 5 times (-8) + 2 times 8
Vamos calcular cada termo:
-10 times 16 = -160
5 times (-8) = -40
2 times 8 = 16
Agora, somamos esses resultados:
-160 + (-40) + 16 = -160 - 40 + 16 = -200 + 16 = -184

Resposta

O produto escalar dos vetores 2a - 3b e a + 2b é -184.

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