Derive a relação
entre o ângulo de espalhamento do fóton e ângulo de recuo do elétron no efeito Compton. Estes ângulos, de acordo com a geometria de espalhamento, são medidos em relação à direção de incidência do fóton. Justifique detalhadamente as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. A ideia é estudar o espalhamento Compton, onde um fóton de energia
incide num elétron parado (massa de repouso
) e, depois da colisão, o fóton sai com energia
num ângulo
e o elétron “recuado” vai embora num ângulo
. O objetivo é, usando conservação de energia e momento, chegar na fórmula
[
\cot!\bigl(\tfrac\theta2\bigr)
\biggl[1+\frac{h\nu}{m_0c^2}\biggr],
\tan\varphi.
]
\tan\varphi.
]
Para isso, vamos precisar de:
- Conservação de energia (antes = depois).
- Conservação de momento vetorial (componentes
e ). - A fórmula do deslocamento de Compton
ou sua equivalente em frequências.
Passo 2
Primeiro, escrever conservação de momento nas componentes. Vamos colocar
na direção original do fóton:
(i) Eixo :
(i) Eixo
(ii) Eixo
:
onde
é o módulo do momento do elétron após a colisão e
a velocidade da luz.
Passo 3
A ideia agora é eliminar
. Da equação
a gente tem
Se substituirmos isso na equação do eixo
, teríamos:
Mas em vez de ir por essa estrada, a gente pode achar direto a tangente do ângulo do elétron dividindo (ii) por (i) reorganizada. Fazendo
[
\tan\varphi
\frac{p_{ey}}{p_{ex}}
\frac{\frac{h\nu’}{c}\sin\theta}
{\frac{h\nu}{c}-\frac{h\nu’}{c}\cos\theta}
\frac{\nu’,\sin\theta}{\nu-\nu’\cos\theta}.
]
]
Passo 4
Agora entra a parte “Compton” propriamente dita. A relação entre
e
vem de
Em termos de razão
define-se
e obtém-se
Passo 5
Substitui essa razão em
Fatorando
e simplificando, chega-se a