Derive a relação cot (theta2)=[1+h vm0 c^2] tan varphi entre o ângulo de espalhamento do fóton e ângulo de recuo do elétron no efeito Compton. Estes ângulos, de acordo com a geometria de espalhamento, são medidos em relação à direção de incidência do fóton. Justifique detalhadamente as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. A ideia é estudar o espalhamento Compton, onde um fóton de energia cot!l(tfractheta2r) = gl[1+hnum0c^2gr], tanvarphi incide num elétron parado (massa de repouso ) e, depois da colisão, o fóton sai com energia num ângulo e o elétron “recuado” vai embora num ângulo . O objetivo é, usando conservação de energia e momento, chegar na fórmula
[
\cot!\bigl(\tfrac\theta2\bigr)

\biggl[1+\frac{h\nu}{m_0c^2}\biggr],
\tan\varphi.
]
Para isso, vamos precisar de:
  • Conservação de energia (antes = depois).
  • Conservação de momento vetorial (componentes e ).
  • A fórmula do deslocamento de Compton ou sua equivalente em frequências.

Passo 2

Primeiro, escrever conservação de momento nas componentes. Vamos colocar hnuc = hnu'ccostheta + pecosvarphi, na direção original do fóton:
(i) Eixo 0 = hnu'csintheta - pesinvarphi, :
(ii) Eixo :
onde é o módulo do momento do elétron após a colisão e a velocidade da luz.

Passo 3

A ideia agora é eliminar pesinvarphi = hnu'csintheta Longrightarrow pe = hnu'c,sinthetasinvarphi . Da equação hnuc = hnu'ccostheta + hnu'c,sinthetasinvarphicosvarphi a gente tem
tanvarphi = peypex = hnu'csintheta hnuc-hnu'ccostheta = nu',sinthetanu-nu'costheta
Se substituirmos isso na equação do eixo , teríamos:

Mas em vez de ir por essa estrada, a gente pode achar direto a tangente do ângulo do elétron dividindo (ii) por (i) reorganizada. Fazendo
[
\tan\varphi

\frac{p_{ey}}{p_{ex}}

\frac{\frac{h\nu’}{c}\sin\theta}
{\frac{h\nu}{c}-\frac{h\nu’}{c}\cos\theta}

\frac{\nu’,\sin\theta}{\nu-\nu’\cos\theta}.
]

Passo 4

Agora entra a parte “Compton” propriamente dita. A relação entre lambda'-lambda = hm0c,(1-costheta) ;Long<=ftrightarrow; 1nu'-1nu = hm0c^2,(1-costheta) e nu'nu = 1,1+alpha,(1-costheta), vem de
Em termos de razão define-se e obtém-se

Passo 5

Substitui essa razão em
tanvarphi = nu'sinthetanu-nu'costheta = nu1+alpha(1-costheta),sintheta nu-nu1+alpha(1-costheta)costheta
Fatorando tanvarphi = sintheta (1+alpha)[1-costheta] = sintheta 2(1+alpha)sin^2(theta/2) = cos(theta/2)(1+alpha)sin(theta/2) = 11+alpha,cot!l(tfractheta2r) e simplificando, chega-se a

Resposta

boxed cot!l(tfractheta2r) = gl[1+hnum0c^2gr] ,tanvarphi

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