Efetue os cálculos necessários para mostrar que o deslocamento Compton em comprimento de onda é dado por:
. Justifique detalhadamente as suas respostas.
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra mostrar que, quando um fóton colide elasticamente com um elétron parado, o comprimento de onda do fóton muda de λ para λ′, e essa diferença Δλ = λ′−λ é
Estamos numa mistura de mecânica quântica e relatividade (Chama-se espalhamento de Compton). Para resolver vamos usar:
• Conservação do quadrivetor momento–energia (quatro-momentum).
• A relação de fóton: energia e seu quadrivetor tem norma zero.
• A invariante do elétron: .
• Conservação do quadrivetor momento–energia (quatro-momentum).
• A relação de fóton: energia
• A invariante do elétron:
Passo 2
Definimos os quadrivetores:
• Fóton inicial com
,
.
• Fóton espalhado com
,
e ângulo
entre
e
.
• Elétron antes (eletrão parado).
• Fóton inicial
• Fóton espalhado
• Elétron antes
Conservação de quatro-momentum:
e a norma do quadrivetor final do elétron é
Passo 3
Escrevemos
. Então
Expandindo e usando:
-
, (fótons são massless), -
, -
, -
, -
,
chegamos a:
Cancelando
dos dois lados e dividindo por 2:
Passo 4
Agora substituímos
e
:
Isso vira
Multiplicando tudo por
e dividindo por
: