Derive a seguinte função usando a Regra da Cadeia, possivelmente combinada com outras regras:
f(x)=\left(2 x^{3}+5\right)^{10}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\left(2 x^{3}+5\right)^{10} e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é composta: uma expressão interna 2x^{3}+5 elevada à potência 10.
  • Quer-se a derivada em relação a x.

Passo 2

Identificar as partes da função para facilitar a aplicação das regras de derivação. Vou fazer uma substituição auxiliar:
u(x)=2x^{3}+5.
Com isso a função fica escrita como
f(x)=u(x)^{10}.
Isso deixa claro que temos uma função externa g(u)=u^{10} e uma função interna u(x)=2x^{3}+5.

Passo 3

Explicar a regra que vamos usar (de forma didática): se uma função é composta, isto é, f(x)=g(u(x)), então sua derivada é dada pela multiplicação da derivada da função externa avaliada na função interna pela derivada da função interna. Em fórmula:
\frac{d}{dx}g(u(x))=g'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui:
  • g'(u) é a derivada de g em relação à sua variável u;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • o produto dá a derivada total em relação a x.

Passo 4

Calcular a derivada da função externa g(u)=u^{10} usando a regra do expoente (regra da potência): para qualquer n real,
\frac{d}{du}\bigl(u^{n}\bigr)=n\,u^{n-1}.
Aplicando com n=10:
g'(u)=10\,u^{9}.
Isso significa que, ao derivar a parte que é “elevar ao décimo”, puxamos o expoente na frente e diminuímos o expoente em uma unidade.

Passo 5

Calcular a derivada da função interna u(x)=2x^{3}+5. Aqui aplicamos duas regras simples:
  • derivada de uma constante é 0;
  • derivada de 2x^{3} é 2 vezes a derivada de x^{3}.
    E a regra do expoente para x^{3} \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}. Portanto:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}+5\bigr)=2\cdot 3x^{2}+0=6x^{2}.

Passo 6

Agora aplicar a regra da cadeia combinando os resultados dos passos anteriores:
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Substituindo g'(u)=10u^{9} e u(x)=2x^{3}+5 e u'(x)=6x^{2}:
f'(x)=10\bigl(2x^{3}+5\bigr)^{9}\cdot 6x^{2}.

Passo 7

Simplificar a expressão multiplicando os coeficientes numéricos 10 e 6:
10\cdot 6x^{2}=60x^{2}.
Logo a derivada simplificada é
f'(x)=60x^{2}\bigl(2x^{3}+5\bigr)^{9}.

Passo 8

Comentário final e forma geral: a resposta final pode ser lida como “pegar o expoente, multiplicar por uma cópia da mesma base elevada ao expoente menos um, e multiplicar pela derivada da base”. Em geral, para \bigl(a x^{n}+b\bigr)^{m},
\frac{d}{dx}\bigl(a x^{n}+b\bigr)^{m}=m\bigl(a x^{n}+b\bigr)^{m-1}\cdot a n x^{n-1},
que é exatamente o esquema usado aqui com a=2, n=3, m=10.

Resposta

f'(x)=60x^{2}\bigl(2x^{3}+5\bigr)^{9}

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