Derive a seguinte função usando a Regra da Cadeia, possivelmente combinada com outras regras:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é composta: uma expressão interna
elevada à potência . - Quer-se a derivada em relação a
.
Passo 2
Identificar as partes da função para facilitar a aplicação das regras de derivação. Vou fazer uma substituição auxiliar:
Com isso a função fica escrita como
Isso deixa claro que temos uma função externa
e uma função interna
.
Passo 3
Explicar a regra que vamos usar (de forma didática): se uma função é composta, isto é,
, então sua derivada é dada pela multiplicação da derivada da função externa avaliada na função interna pela derivada da função interna. Em fórmula:
Aqui:
-
é a derivada de em relação à sua variável ; -
é a derivada de em relação a ; - o produto dá a derivada total em relação a
.
Passo 4
Calcular a derivada da função externa
usando a regra do expoente (regra da potência): para qualquer
real,
Aplicando com
:
Isso significa que, ao derivar a parte que é “elevar ao décimo”, puxamos o expoente na frente e diminuímos o expoente em uma unidade.
Passo 5
Calcular a derivada da função interna
. Aqui aplicamos duas regras simples:
- derivada de uma constante é
; - derivada de
é vezes a derivada de .
E a regra do expoente paradá . Portanto:
Passo 6
Agora aplicar a regra da cadeia combinando os resultados dos passos anteriores:
Substituindo
e
e
:
Passo 7
Simplificar a expressão multiplicando os coeficientes numéricos
e
:
Logo a derivada simplificada é
Passo 8
Comentário final e forma geral: a resposta final pode ser lida como “pegar o expoente, multiplicar por uma cópia da mesma base elevada ao expoente menos um, e multiplicar pela derivada da base”. Em geral, para
,
que é exatamente o esquema usado aqui com
,
,
.