Diferencie a seguinte função usando as regras básicas:
y=4 \pi^{2}

Passo 1

O enunciado pede para diferenciar a função y=4\pi^{2}. Ou seja, encontrar a derivada dessa função em relação a alguma variável (quando a variável não é especificada, é padrão assumir que a diferenciação é em relação a x). Informações relevantes dadas:
  • 4 é um número real constante.
  • \pi é a constante matemática (aproximadamente \pi\approx3,14159), logo \pi^{2} também é constante.
  • Portanto 4\pi^{2} é um número fixo, independente de x.

Passo 2

Lembrete da definição de derivada (a versão limite), que é a forma mais básica e segura de entender por que a derivada de uma constante é zero:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • f é a função a ser diferenciada;
  • x é o ponto em que avaliamos a derivada;
  • h é um incremento pequeno em x;
  • o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação; o limite quando h\to0 dá a taxa instantânea (derivada).

Passo 3

Aplique a definição ao caso de uma função constante f(x)=c, com c fixo. Então para qualquer x e qualquer h vale f(x+h)=c e f(x)=c. Substituindo na definição:
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}.
Para todo h\neq0 temos \dfrac{0}{h}=0, portanto o limite quando h\to0 também é 0.

Passo 4

Conectando ao problema: aqui c=4\pi^{2}, que é uma constante. Pelo cálculo do passo anterior, a derivada de qualquer constante é 0. Alternativamente, existe uma regra pronta que se aprende cedo: a derivada de um número constante é sempre zero — é exatamente o que acabamos de demonstrar com o limite.
Dica prática para a prova: quando você vê uma expressão sem a variável (um número puro) basta reconhecê-la como constante e escrever a resposta rapidamente como zero — economiza tempo e evita cálculos desnecessários. Respira fundo: esse tipo de questão é exatamente para ganhar pontos rápidos.

Resposta

y'=0

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