Derive a seguinte função usando a Regra da Cadeia, possivelmente combinada com outras regras:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
usando a Regra da Cadeia (pode-se combinar com outras regras, se necessário).
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Quer-se a derivada de
em relação a .
Passo 2
Identificar as funções compostas (quais são a função exterior e a função interior).
Definir uma função interior e uma função exterior
de modo que
.
Definir uma função interior
- Tomo
. Isso é a parte interior que depende diretamente de . - Tomo
. Então .
Passo 3
Explicar a Regra da Cadeia de forma clara e simples.
Regra da Cadeia (forma prática): se , então a derivada de
em relação a
é
Regra da Cadeia (forma prática): se
O que isso significa:
-
é a derivada da função exterior em relação à sua variável . -
é a derivada da função interior em relação a . - Primeiro deriva-se a função exterior mantendo a interior como símbolo
; depois multiplica-se pelo derivado da interior.
Passo 4
Derivar a função exterior
.
A derivada da função seno é
A derivada da função seno é
Aqui
é apenas a variável da função seno; mais tarde vamos substituir
.
Passo 5
Derivar a função interior
.
A derivada da exponencial é ela mesma:
A derivada da exponencial é ela mesma:
Isto é uma propriedade fundamental da função exponencial.
Passo 6
Aplicar a Regra da Cadeia juntando os resultados dos passos anteriores.
Pela Regra da Cadeia:
Pela Regra da Cadeia:
Substituindo
e
e
, obtemos
Passo 7
Escrever a resposta de forma típica e comentar a ordem dos fatores.
Podemos escrever a derivada como
Podemos escrever a derivada como
A ordem dos fatores não altera o produto, então
e
são equivalentes. Dica rápida: pense sempre “derive o externo (seno→cosseno) e multiplica pelo derivado do interno (exponencial→exponencial)”.