Derive a seguinte função usando a Regra da Cadeia, possivelmente combinada com outras regras:
y=\sin \left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y=\sin\!\left(e^{x}\right) usando a Regra da Cadeia (pode-se combinar com outras regras, se necessário).
Informações dadas:
  • A função é y=\sin\!\left(e^{x}\right).
  • Quer-se a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Identificar as funções compostas (quais são a função exterior e a função interior).
Definir uma função interior u(x) e uma função exterior f(u) de modo que y=f(u(x)).
  • Tomo u(x)=e^{x}. Isso é a parte interior que depende diretamente de x.
  • Tomo f(u)=\sin(u). Então y=f(u(x))=\sin\!\big(u(x)\big).

Passo 3

Explicar a Regra da Cadeia de forma clara e simples.
Regra da Cadeia (forma prática): se y=f(u(x)), então a derivada de y em relação a x é
\frac{dy}{dx}=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
O que isso significa:
  • f'(u) é a derivada da função exterior f em relação à sua variável u.
  • u'(x) é a derivada da função interior u em relação a x.
  • Primeiro deriva-se a função exterior mantendo a interior como símbolo u; depois multiplica-se pelo derivado da interior.

Passo 4

Derivar a função exterior f(u)=\sin(u).
A derivada da função seno é
f'(u)=\cos(u).
Aqui u é apenas a variável da função seno; mais tarde vamos substituir u=u(x).

Passo 5

Derivar a função interior u(x)=e^{x}.
A derivada da exponencial é ela mesma:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isto é uma propriedade fundamental da função exponencial.

Passo 6

Aplicar a Regra da Cadeia juntando os resultados dos passos anteriores.
Pela Regra da Cadeia:
\frac{dy}{dx}=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituindo f'(u)=\cos(u) e u(x)=e^{x} e u'(x)=e^{x}, obtemos
\frac{dy}{dx}=\cos\!\big(e^{x}\big)\cdot e^{x}.

Passo 7

Escrever a resposta de forma típica e comentar a ordem dos fatores.
Podemos escrever a derivada como
\frac{dy}{dx}=e^{x}\cos\!\big(e^{x}\big).
A ordem dos fatores não altera o produto, então \cos\!\big(e^{x}\big)e^{x} e e^{x}\cos\!\big(e^{x}\big) são equivalentes. Dica rápida: pense sempre “derive o externo (seno→cosseno) e multiplica pelo derivado do interno (exponencial→exponencial)”.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=e^{x}\cos\!\big(e^{x}\big)

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