Derive as seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{x}, g(x)=\frac{2}{x^{4}}, h(x)=\frac{1}{\operatorname{sen} x}, i(x)=\frac{7}{e^{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de quatro funções: f(x)=\frac{1}{x}, g(x)=\frac{2}{x^{4}}, h(x)=\frac{1}{\operatorname{sen} x} e i(x)=\frac{7}{e^{2x}}.
Vamos usar as regras básicas de derivação:
  1. Regra do expoente (power rule): \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
  2. Regra da cadeia (chain rule) para funções compostas: \frac{d}{dx}u(v(x))=u'(v(x))\cdot v'(x).

Passo 2

Derivada de f(x)=\frac{1}{x}.
Escrevemos f(x)=x^{-1}. Aplicando a regra do expoente:
f'(x)=(-1)\,x^{-1-1}=-x^{-2}.
Em forma de fração:
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Derivada de g(x)=\frac{2}{x^{4}}.
Reescrevemos g(x)=2\,x^{-4}. Aplicando a regra do expoente e fator constante:
g'(x)=2\cdot(-4)\,x^{-4-1}=-8\,x^{-5}.
Em forma de fração:
g'(x)=-\frac{8}{x^{5}}.

Passo 4

Derivada de h(x)=\frac{1}{\operatorname{sen} x}.
Vemos h(x)=(\operatorname{sen} x)^{-1}. Pela regra da cadeia:
  1. Derivada de u^{-1} em função de u é -u^{-2}.
  2. Aqui u=\operatorname{sen} x e u'=\cos x.
    Logo,
h'(x)=-(\operatorname{sen} x)^{-2}\cdot\cos x=-\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}.

Passo 5

Derivada de i(x)=\frac{7}{e^{2x}}.
Podemos ver i(x)=7\,e^{-2x}. Pela regra da cadeia e derivada do exponencial:
i'(x)=7\cdot(-2)\,e^{-2x}=-14\,e^{-2x}.
Em forma de fração:
i'(x)=-\frac{14}{e^{2x}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{x^{2}} g'(x)=-\frac{8}{x^{5}} h'(x)=-\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x} i'(x)=-\frac{14}{e^{2x}}

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