Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função abaixo:
\mathrm{F}(\mathrm{x})=\cos ^{\mathrm{n}} \mathrm{x} \quad\left(\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \mathrm{F}(x)=\cos^{n}x, com n\in\mathbb{N}^{*}. Para isso vamos usar a regra da função composta, também chamada de chain rule, que diz que se \mathrm{F}(x)=g(h(x)) então
\mathrm{F}'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).

Passo 2

Reescrevemos
\mathrm{F}(x)=\bigl(\cos x\bigr)^{n}
como composição de
h(x)=\cos x \quad\text{e}\quad g(u)=u^{n}.

Passo 3

Calculamos a derivada de g. Como g(u)=u^{n}, vale
g'(u)=n\,u^{\,n-1}.

Passo 4

Calculamos a derivada de h. Sendo h(x)=\cos x, temos
h'(x)=-\sin x.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
\mathrm{F}'(x) = g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x) = n\bigl(h(x)\bigr)^{n-1}\cdot\bigl(-\sin x\bigr) = -\,n\,\sin x\;(\cos x)^{\,n-1}.

Resposta

\mathrm{F}'(x)=-n\sin x\,(\cos x)^{n-1}.

Exercícios relacionados