Derive as seguintes funções:
(3) f(x)=integralraizx^cos (x) e^tt^2+1 d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para derivar a função $ f(x) = \int_{\sqrt{x}}^{\cos(x)} \frac{e{t}}{t{2}+1} , dt $. Esse problema envolve cálculo de derivadas de funções definidas por integrais, utilizando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar aplicar essas técnicas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, entendemos que $ f(x) $ é uma função que depende dos limites de integração, que são $ \sqrt{x} $ e $ \cos(x) $. Quando uma função é definida por uma integral com limites variáveis, usamos o teorema de Leibniz para encontrar sua derivada.

Passo 3

O teorema de Leibniz nos diz que, se temos uma função $ f(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} g(t) , dt $, então a derivada $ f’(x) $ é dada por:
f(x) = integrala(x)^b(x) g(t) , dt

Passo 4

Aplicando esse teorema ao nosso caso:
  • $ g(t) = \frac{e{t}}{t{2}+1} $
  • $ a(x) = \sqrt{x} $, então $ a’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
  • $ b(x) = \cos(x) $, então $ b’(x) = -\sin(x) $

Passo 5

Substituindo na fórmula de Leibniz:
f'(x) = e^cos(x)(cos(x))^2+1 cdot (-sin(x)) - e^raizx(raizx)^2+1 cdot 12raizx

Passo 6

Simplificando os termos:
  • $ (\cos(x))^{2} + 1 $ permanece
  • $ (\sqrt{x})^{2} = x $, então $ x + 1 $
Portanto:
(cos(x))^2 + 1

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -sin(x) cdot e^cos(x)cos^2(x) + 1 - e^raizx2raizx(x + 1)

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