Derive as seguintes funções:
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para derivar a função $ f(x) = \int_{\sqrt{x}}^{\cos(x)} \frac{e{t}}{t{2}+1} , dt $. Esse problema envolve cálculo de derivadas de funções definidas por integrais, utilizando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar aplicar essas técnicas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, entendemos que $ f(x) $ é uma função que depende dos limites de integração, que são $ \sqrt{x} $ e $ \cos(x) $. Quando uma função é definida por uma integral com limites variáveis, usamos o teorema de Leibniz para encontrar sua derivada.
Passo 3
O teorema de Leibniz nos diz que, se temos uma função $ f(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} g(t) , dt $, então a derivada $ f’(x) $ é dada por:
Passo 4
Aplicando esse teorema ao nosso caso:
- $ g(t) = \frac{e{t}}{t{2}+1} $
- $ a(x) = \sqrt{x} $, então $ a’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
- $ b(x) = \cos(x) $, então $ b’(x) = -\sin(x) $
Passo 5
Substituindo na fórmula de Leibniz:
Passo 6
Simplificando os termos:
- $ (\cos(x))^{2} + 1 $ permanece
- $ (\sqrt{x})^{2} = x $, então $ x + 1 $
Portanto:
Resposta
A derivada da função é: