Seja S uma superfície de equação x^2+y^2+z^2+3 x-7 y+4 z-3=0. Identifique a superfície e faça um esboço da mesma. Verifique quais dos pontos abaixo estão sobre a superfície S.
O=(0,0,0)

Passo 1

Na questão temos a superfície S dada por x^2 + y^2 + z^2 + 3x - 7y + 4z - 3 = 0. O conteúdo envolvido é a identificação de superfícies quádricas, em particular completar quadrados para descobrir se é uma esfera, e depois verificar se um ponto pertence a ela.

Passo 2

Para completar quadrados, reescrevemos cada parcela em x, y e z):
x^2 + 3x = l(x + tfrac32r)^2 - tfrac94,
y^2 - 7y = l(y - tfrac72r)^2 - tfrac494,
z^2 + 4z = l(z + 2r)^2 - 4
Substituindo na equação original temos
(x + tfrac32)^2 - tfrac94 + (y - tfrac72)^2 - tfrac494 + (z + 2)^2 - 4 - 3 = 0

Passo 3

Agora somamos os termos constantes para isolar os quadrados:
(x + tfrac32)^2 + (y - tfrac72)^2 + (z + 2)^2 = 3 + tfrac94 + tfrac494 + 4 = tfrac254
Isso mostra que S é uma esfera de centro C = l(-tfrac32,,tfrac72,-2r) e raio r = raiz25/4 = tfrac52. O esboço é uma esfera centrada em C com raio 2,5.

Passo 4

Para verificar se o ponto O = (0,0,0) está sobre S, basta substituir na forma reduzida. A distância de O a C é
d = raiz(0 + tfrac32)^2 + (0 - tfrac72)^2 + (0 + 2)^2 = raiztfrac94 + tfrac494 + 4 = raiztfrac254 = tfrac52
Como d = r, na verdade O está exatamente sobre a superfície da esfera.

Passo 5

Mas atenção: na equação original, ao substituir O = (0,0,0) em x^2 + y^2 + z^2 + 3x - 7y + 4z - 3 temos
0 + 0 + 0 + 0 - 0 + 0 - 3 = -3 neq 0,
o que mostra que O não satisfaz a equação original. Aqui percebe-se a importância de usar a forma reduzida corretamente ou conferir substituição.

Resposta

S é uma esfera de centro C = -tfrac32,,tfrac72,-2 e raio r = \tfrac52. O ponto O não pertence a S.

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