Derive as seguintes funções
f(x)=\ln \left(x^{4} \operatorname{sen}^{2}(x)\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \ln\bigl(x^{4}\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr).
O conteúdo principal aqui é derivada de logaritmo e aplicação de propriedades de potências no logaritmo.

Passo 2

Usamos a propriedade
\ln\bigl(a^m b^n\bigr)=m\ln(a)+n\ln(b)
para reescrever
f(x)=\ln\bigl(x^4\bigr)+\ln\bigl(\operatorname{sen}^2(x)\bigr)=4\ln(x)+2\ln\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr).

Passo 3

Derivamos termo a termo, lembrando que \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}:
  • Para 4\ln(x):
\frac{d}{dx}\bigl(4\ln(x)\bigr)=4\cdot\frac{1}{x}=\frac{4}{x}.
  • Para 2\ln(\operatorname{sen}(x)):
\frac{d}{dx}\bigl(2\ln(\operatorname{sen}(x))\bigr)=2\cdot\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}=2\cot(x).

Resposta

f'(x)=\frac{4}{x}+2\cot(x).

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