Derive as seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}.
Informações dadas e restrições importantes:
  • A função está definida por f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}.
  • Como aparece raiz quadrada, o domínio natural (para manter tudo real) é x\ge 0 porque \sqrt{x} exige x\ge0 e x+\sqrt{x}\ge0 também será verdadeiro para x\ge0.
  • Objetivo: calcular f'(x), a derivada de f em pontos do domínio (principalmente para x>0; atenção especial em x=0, onde podem ocorrer problemas com expressões que envolvem divisão por \sqrt{x}).

Passo 2

Estratégia e ideia principal (sem fazer contas ainda).
  • Reescrever raízes como potências facilita aplicar regras: \sqrt{\cdot} = (\cdot)^{1/2}. Logo podemos escrever
f(x)=\bigl(x+\sqrt{x}\bigr)^{1/2}=\bigl(x+x^{1/2}\bigr)^{1/2}.
  • Vamos usar a regra da cadeia (chain rule): se f(x)=h(g(x)) então
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Aqui escolhemos g(x)=x+x^{1/2} e h(u)=u^{1/2} com u=g(x). Vou aplicar a regra da cadeia com calma, calculando h'(u) e g'(x) separadamente e depois multiplicando.

Passo 3

Derivar a função externa h(u)=u^{1/2}.
  • Regra do poder (power rule): se h(u)=u^{n} com n constante, então h'(u)=n u^{n-1}. Aqui n=\tfrac12.
  • Aplicando:
h'(u)=\tfrac12\,u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Explicação curta: subir o expoente \tfrac12 na frente e diminuir o expoente em uma unidade: \tfrac12-1=-\tfrac12. Em forma de raiz: u^{-1/2}=1/\sqrt{u}.

Passo 4

Derivar a função interna g(x)=x+x^{1/2}.
  • Derivada de x é 1.
  • Para x^{1/2} usamos de novo a regra do poder com n=\tfrac12: a derivada é \tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Portanto
g'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação: essa expressão está bem definida para x>0. Em x=0 o termo \dfrac{1}{2\sqrt{x}} fica infinito, então trataremos x>0 para a fórmula explícita da derivada.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia unindo os resultados dos passos 3 e 4.
  • Pela regra da cadeia:
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
  • Substituindo h' e g:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot\Bigl(1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr).
  • Lembrando g(x)=x+\sqrt{x}, fica
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}\cdot\Bigl(1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr).

Passo 6

Simplificar a expressão para uma forma única e limpa (opcional, mas útil na prova).
  • Primeiro colocar a soma interna num único quociente:
1+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}.
  • Substituindo em f'(x):
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}\cdot\frac{2\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x+\sqrt{x}}}.
  • Essa é uma forma bem compacta e adequada como resposta final. Repare que exige x>0 por causa do \sqrt{x} no denominador; a função original está definida em x\ge0, mas a fórmula da derivada tal como escrita vale para x>0. Em x=0 é preciso analisar o limite da diferença quociente para saber se existe derivada — na prática a derivada à direita em 0 diverge.

Passo 7

Comentário prático para a prova (como escrever rápido e corretamente):
  1. Reescreve \sqrt{\cdot} como potência ^{1/2}.
  2. Identifica h e g (externa e interna).
  3. Calcula h'(u)=\tfrac12 u^{-1/2} e g'(x) termo a termo.
  4. Faz f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x) e, se quiser, simplifica transformando somas em único quociente.
    Isso dá exatamente a expressão final que achamos; fica elegante e evita erros de sinais e fatores.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{2\sqrt{x}+1}{4\sqrt{x}\,\sqrt{x+\sqrt{x}}}

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