Derive as seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}
f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
.
Informações dadas e restrições importantes:
Informações dadas e restrições importantes:
- A função está definida por
. - Como aparece raiz quadrada, o domínio natural (para manter tudo real) é
porque exige e também será verdadeiro para . - Objetivo: calcular
, a derivada de em pontos do domínio (principalmente para ; atenção especial em , onde podem ocorrer problemas com expressões que envolvem divisão por ).
Passo 2
Estratégia e ideia principal (sem fazer contas ainda).
- Reescrever raízes como potências facilita aplicar regras:
. Logo podemos escrever
- Vamos usar a regra da cadeia (chain rule): se
então
Aqui escolhemos
e
com
. Vou aplicar a regra da cadeia com calma, calculando
e
separadamente e depois multiplicando.
Passo 3
Derivar a função externa
.
- Regra do poder (power rule): se
com constante, então . Aqui . - Aplicando:
Explicação curta: subir o expoente
na frente e diminuir o expoente em uma unidade:
. Em forma de raiz:
.
Passo 4
Derivar a função interna
.
- Derivada de
é . - Para
usamos de novo a regra do poder com : a derivada é . - Portanto
Observação: essa expressão está bem definida para
. Em
o termo
fica infinito, então trataremos
para a fórmula explícita da derivada.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia unindo os resultados dos passos 3 e 4.
- Pela regra da cadeia:
- Substituindo
e :
- Lembrando
, fica
Passo 6
Simplificar a expressão para uma forma única e limpa (opcional, mas útil na prova).
- Primeiro colocar a soma interna num único quociente:
- Substituindo em
:
- Essa é uma forma bem compacta e adequada como resposta final. Repare que exige
por causa do no denominador; a função original está definida em , mas a fórmula da derivada tal como escrita vale para . Em é preciso analisar o limite da diferença quociente para saber se existe derivada — na prática a derivada à direita em diverge.
Passo 7
Comentário prático para a prova (como escrever rápido e corretamente):
- Reescreve
como potência . - Identifica
e (externa e interna). - Calcula
e termo a termo. - Faz
e, se quiser, simplifica transformando somas em único quociente.
Isso dá exatamente a expressão final que achamos; fica elegante e evita erros de sinais e fatores.