Derive as seguintes funções:
g(u)=\left(u \operatorname{Sen}\left(\frac{1}{u}\right)\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede que se derive a função
g(u)=\left(u \operatorname{Sen}\!\left(\frac{1}{u}\right)\right)^{3}.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é g definida para u\neq0, porque aparece \dfrac{1}{u}.
  • O objetivo é encontrar g'(u), a derivada de g em termos de u, para u\neq0.

Passo 2

Reconhecer a estrutura da função e que regra usar. Aqui temos uma composição e um produto:
  • A parte externa é uma potência: h(t)=t^{3} com t=u\operatorname{Sen}\!\left(\dfrac{1}{u}\right). Para compostos usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para F(x)=f(g(x)),
F'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isto significa: derivar a função externa no ponto interno e multiplicar pela derivada do interno.

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia à nossa g. Tomando t(u)=u\operatorname{Sen}\!\left(\dfrac{1}{u}\right), obtemos
g'(u)=3\big(t(u)\big)^{2}\cdot t'(u).
Escrevendo com a função dada:
g'(u)=3\left(u \operatorname{Sen}\!\left(\frac{1}{u}\right)\right)^{2}\cdot \frac{d}{du}\!\left(u \operatorname{Sen}\!\left(\frac{1}{u}\right)\right).

Passo 4

Agora precisamos da derivada do interno t(u)=u\operatorname{Sen}\!\left(\dfrac{1}{u}\right). Isso é um produto de duas funções: p(u)=u e q(u)=\operatorname{Sen}\!\left(\dfrac{1}{u}\right). Usamos a regra do produto: para p\cdot q,
\frac{d}{du}(p q)=p'\,q+p\,q'.
Aqui p'(u)=1. Falta calcular q'(u).

Passo 5

Calcular q'(u) com a regra da cadeia. Escrevendo q(u)=\operatorname{Sen}(v(u)) com v(u)=\dfrac{1}{u}=u^{-1}, temos:
  • Derivada externa: \dfrac{d}{dv}\operatorname{Sen}(v)=\operatorname{Cos}(v). (Usando notação padrão: \operatorname{Cos} é o cosseno.)
  • Derivada interna: v'(u)=\dfrac{d}{du}u^{-1}=-u^{-2}=-\dfrac{1}{u^{2}}.
    Pelo conjunto:
q'(u)=\operatorname{Cos}\!\left(\frac{1}{u}\right)\cdot\left(-\frac{1}{u^{2}}\right)=-\frac{\operatorname{Cos}\!\left(\frac{1}{u}\right)}{u^{2}}.

Passo 6

Voltar à regra do produto e montar t'(u):
t'(u)=1\cdot \operatorname{Sen}\!\left(\frac{1}{u}\right)+u\cdot\left(-\frac{\operatorname{Cos}\!\left(\frac{1}{u}\right)}{u^{2}}\right).
Simplificando o segundo termo:
t'(u)=\operatorname{Sen}\!\left(\frac{1}{u}\right)-\frac{\operatorname{Cos}\!\left(\frac{1}{u}\right)}{u}.

Passo 7

Substituir t'(u) em g'(u) e simplificar. Temos
g'(u)=3\left(u \operatorname{Sen}\!\left(\frac{1}{u}\right)\right)^{2}\!\left(\operatorname{Sen}\!\left(\frac{1}{u}\right)-\frac{\operatorname{Cos}\!\left(\frac{1}{u}\right)}{u}\right).
Expandindo e simplificando termos úteis:
\begin{aligned} g'(u)&=3\big(u^{2}\operatorname{Sen}^{2}\!\left(\tfrac{1}{u}\right)\big)\operatorname{Sen}\!\left(\tfrac{1}{u}\right) -3\big(u^{2}\operatorname{Sen}^{2}\!\left(\tfrac{1}{u}\right)\big)\frac{\operatorname{Cos}\!\left(\tfrac{1}{u}\right)}{u}\\[6pt] &=3u^{2}\operatorname{Sen}^{3}\!\left(\tfrac{1}{u}\right)-3u\operatorname{Sen}^{2}\!\left(\tfrac{1}{u}\right)\operatorname{Cos}\!\left(\tfrac{1}{u}\right). \end{aligned}
Podemos também colocar em forma fatorada comum:
g'(u)=3u\operatorname{Sen}^{2}\!\left(\tfrac{1}{u}\right)\!\left(u\operatorname{Sen}\!\left(\tfrac{1}{u}\right)-\operatorname{Cos}\!\left(\tfrac{1}{u}\right)\right).]

Passo 8

Resumo final e dica rápida para a prova: sempre identifique camadas (potência externa, produto interno, função composta \operatorname{Sen}(1/u)) e aplique em sequência a regra da cadeia e a do produto. Lembre-se de derivar 1/u como -1/u^{2}. Respire, faça passo a passo, não tente expandir tudo de uma vez.

Resposta

g'(u)=3u^{2}\operatorname{Sen}^{3}\!\left(\dfrac{1}{u}\right)-3u\operatorname{Sen}^{2}\!\left(\dfrac{1}{u}\right)\operatorname{Cos}\!\left(\dfrac{1}{u}\right) para u\neq0.

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