Derive as seguintes funções:
g(u)=\left(u \operatorname{Sen}\left(\frac{1}{u}\right)\right)^{3}
g(u)=\left(u \operatorname{Sen}\left(\frac{1}{u}\right)\right)^{3}
Passo 1
O enunciado pede que se derive a função
.
Informações dadas e observações importantes:
Informações dadas e observações importantes:
- A função é
definida para , porque aparece . - O objetivo é encontrar
, a derivada de em termos de , para .
Passo 2
Reconhecer a estrutura da função e que regra usar. Aqui temos uma composição e um produto:
- A parte externa é uma potência:
com . Para compostos usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para ,
Isto significa: derivar a função externa no ponto interno e multiplicar pela derivada do interno.
Passo 3
Aplicar a regra da cadeia à nossa
. Tomando
, obtemos
Escrevendo com a função dada:
Passo 4
Agora precisamos da derivada do interno
. Isso é um produto de duas funções:
e
. Usamos a regra do produto: para
,
Aqui
. Falta calcular
.
Passo 5
Calcular
com a regra da cadeia. Escrevendo
com
, temos:
- Derivada externa:
. (Usando notação padrão: é o cosseno.) - Derivada interna:
.
Pelo conjunto:
Passo 6
Voltar à regra do produto e montar
:
Simplificando o segundo termo:
Passo 7
Substituir
em
e simplificar. Temos
Expandindo e simplificando termos úteis:
Podemos também colocar em forma fatorada comum:
Passo 8
Resumo final e dica rápida para a prova: sempre identifique camadas (potência externa, produto interno, função composta
) e aplique em sequência a regra da cadeia e a do produto. Lembre-se de derivar
como
. Respire, faça passo a passo, não tente expandir tudo de uma vez.