Área da região limitada por y=x^{2}, y=\sqrt{x}, x =0 e x=2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • A curva y=x^{2}.
    • A curva y=\sqrt{x}.
    • As retas verticais x=0 e x=2.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a área da região limitada por essas quatro curvas/retas.
Observação importante (apenas identificando o pedido): a região fica no plano xy e é limitada pelas duas curvas e pelas retas verticais indicadas. A resolução começa encontrando onde as duas curvas se cruzam e verificando qual delas fica por cima em cada intervalo de x entre 0 e 2.

Passo 2

Encontrar as interseções entre y=x^{2} e y=\sqrt{x}.
Para isso igualamos as duas expressões:
x^{2}=\sqrt{x}.
Resolver essa equação: notar que \sqrt{x} exige x\ge0. Podemos escrever \sqrt{x}=t com t\ge0, então x=t^{2} e a equação fica
(t^{2})^{2}=t \;\Longrightarrow\; t^{4}-t=0 \;\Longrightarrow\; t(t^{3}-1)=0.
As soluções com t\ge0 são t=0 e t=1, que correspondem a x=0 e x=1.
Logo, as curvas se cruzam em x=0 e x=1. Esses valores estão dentro do intervalo dado 0\le x\le2.

Passo 3

Determinar qual curva está acima (maior y) em cada subintervalo de x entre 0 e 2.
  • Para 0<x<1, escolhemos um ponto teste, por exemplo x=\tfrac{1}{4}.
    • x^{2}=(\tfrac{1}{4})^{2}=\tfrac{1}{16}.
    • \sqrt{x}=\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}.
      Assim \sqrt{x}>x^{2} em (0,1). Então, para 0<x<1 a função superior é y=\sqrt{x} e a inferior é y=x^{2}.
  • Para 1<x\le2, escolhemos x=\tfrac{3}{2}.
    • x^{2}=(\tfrac{3}{2})^{2}=\tfrac{9}{4}.
    • \sqrt{x}=\sqrt{\tfrac{3}{2}} \approx 1{,}225.
      Assim x^{2}>\sqrt{x} em (1,2]. Então, para 1<x\le2 a função superior é y=x^{2} e a inferior é y=\sqrt{x}.
Conclusão: é preciso separar a área em dois integrais, um de 0 a 1 com \sqrt{x}-x^{2} e outro de 1 a 2 com x^{2}-\sqrt{x}.

Passo 4

Montar as expressões integrais que calculam a área.
A área pedida é
A=\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,dx+\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}-\sqrt{x}\bigr)\,dx.
Forma alternativa (mais compacta) seria A=\int_{0}^{2}\bigl|x^{2}-\sqrt{x}\bigr|\,dx, mas para cálculo prático é mais direto usar a soma dos dois integrais acima, porque já sabemos qual termo é maior em cada intervalo.

Passo 5

Lembrar a regra básica de integração que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Regra para potência: para \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • No caso específico:
    • \sqrt{x}=x^{1/2}. Ao integrar, \int x^{1/2} dx = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3}x^{3/2}.
    • \int x^{2} dx = \dfrac{x^{3}}{3}.
Agora aplicamos essas primitivas aos integrais definidos.

Passo 6

Calcular o primeiro integral
I_{1}=\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,dx.
Usando as primitivas:
\int \sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2},\qquad \int x^{2}\,dx=\frac{1}{3}x^{3}.
Portanto
I_{1}=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}.
Avaliar em 1 e em 0:
I_{1}=\left(\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\frac{1}{3}\cdot 1^{3}\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 0-\frac{1}{3}\cdot 0\right)=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 7

Calcular o segundo integral
I_{2}=\int_{1}^{2}\bigl(x^{2}-\sqrt{x}\bigr)\,dx.
Usando as mesmas primitivas:
I_{2}=\left[\frac{1}{3}x^{3}-\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{2}.
Avaliar em x=2:
\frac{1}{3}\cdot 2^{3}-\frac{2}{3}\cdot 2^{3/2} =\frac{8}{3}-\frac{2}{3}\cdot 2^{3/2}.
Notando que 2^{3/2}=2\sqrt{2}, isso vira
\frac{8}{3}-\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}.
Avaliar em x=1:
\frac{1}{3}\cdot 1^{3}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}.
Subtraindo:
I_{2}=\left(\frac{8}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}\right)-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}=\;3-\frac{4}{3}\sqrt{2}.

Passo 8

Somar os dois integrais para obter a área total:
A=I_{1}+I_{2}=\frac{1}{3}+\left(3-\frac{4}{3}\sqrt{2}\right).
Colocando em fração comum:
A=\frac{1}{3}+\frac{9}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}=\frac{10}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}.
Fatorando \tfrac{2}{3} se desejar:
A=\frac{2}{3}\bigl(5-2\sqrt{2}\bigr).

Resposta

\dfrac{10-4\sqrt{2}}{3}

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