Área da região limitada por y=x^{2}, y=\sqrt{x}, x =0 e x=2.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
A curva y=x^{2}.
A curva y=\sqrt{x}.
As retas verticais x=0 e x=2.
O que o enunciado pede:
Calcular a área da região limitada por essas quatro curvas/retas.
Observação importante (apenas identificando o pedido): a região fica no plano xy e é limitada pelas duas curvas e pelas retas verticais indicadas. A resolução começa encontrando onde as duas curvas se cruzam e verificando qual delas fica por cima em cada intervalo de x entre 0 e 2.
Passo 2
Encontrar as interseções entre y=x^{2} e y=\sqrt{x}.
Para isso igualamos as duas expressões:
x^{2}=\sqrt{x}.
Resolver essa equação: notar que \sqrt{x} exige x\ge0. Podemos escrever \sqrt{x}=t com t\ge0, então x=t^{2} e a equação fica
As soluções com t\ge0 são t=0 e t=1, que correspondem a x=0 e x=1.
Logo, as curvas se cruzam em x=0 e x=1. Esses valores estão dentro do intervalo dado 0\le x\le2.
Passo 3
Determinar qual curva está acima (maior y) em cada subintervalo de x entre 0 e 2.
Para 0<x<1, escolhemos um ponto teste, por exemplo x=\tfrac{1}{4}.
x^{2}=(\tfrac{1}{4})^{2}=\tfrac{1}{16}.
\sqrt{x}=\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}.
Assim \sqrt{x}>x^{2} em (0,1). Então, para 0<x<1 a função superior é y=\sqrt{x} e a inferior é y=x^{2}.
Para 1<x\le2, escolhemos x=\tfrac{3}{2}.
x^{2}=(\tfrac{3}{2})^{2}=\tfrac{9}{4}.
\sqrt{x}=\sqrt{\tfrac{3}{2}} \approx 1{,}225.
Assim x^{2}>\sqrt{x} em (1,2]. Então, para 1<x\le2 a função superior é y=x^{2} e a inferior é y=\sqrt{x}.
Conclusão: é preciso separar a área em dois integrais, um de 0 a 1 com \sqrt{x}-x^{2} e outro de 1 a 2 com x^{2}-\sqrt{x}.
Passo 4
Montar as expressões integrais que calculam a área.
Forma alternativa (mais compacta) seria A=\int_{0}^{2}\bigl|x^{2}-\sqrt{x}\bigr|\,dx, mas para cálculo prático é mais direto usar a soma dos dois integrais acima, porque já sabemos qual termo é maior em cada intervalo.
Passo 5
Lembrar a regra básica de integração que vamos usar (aula rápida e prática):
Regra para potência: para \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
No caso específico:
\sqrt{x}=x^{1/2}. Ao integrar, \int x^{1/2} dx = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3}x^{3/2}.
\int x^{2} dx = \dfrac{x^{3}}{3}.
Agora aplicamos essas primitivas aos integrais definidos.