Derive as seguintes funções:
y=e^{5 \operatorname{tg}(\sqrt{x})}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y definida por
y = e^{5\operatorname{tg}(\sqrt{x})}.
Informações dadas:
  • A função é uma composição de várias funções: exponencial, tangente (aqui escrita como \operatorname{tg}) e raiz quadrada.
  • O objetivo é encontrar y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Plano de ataque (sem calcular ainda): como a função é uma composição em cascata, a gente vai aplicar a regra da cadeia várias vezes. A ideia é escrever a parte de cima como uma função u(x) e usar que a derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)}. Depois vamos derivar u(x)=5\operatorname{tg}(\sqrt{x}) também com a regra da cadeia. Segura que a gente vai passando passo a passo.

Passo 3

Lembrete da regra da cadeia e regras que vou usar:
  • Regra da cadeia (forma básica): se y=f(g(x)), então
y' = f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui f é a função externa e g a interna; f'(g(x)) significa derivar f em termos de sua variável e depois avaliar em g(x).
  • Derivada da exponencial: para f(u)=e^{u},
f'(u)=e^{u}.
  • Derivada da tangente: para v\mapsto\operatorname{tg}(v),
\frac{d}{dv}\operatorname{tg}(v)=\operatorname{sec}^{2}(v).
  • Derivada da raiz quadrada: \sqrt{x}=x^{1/2}, então
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Essas são as ferramentas; agora aplicamos ao problema concreto.

Passo 4

Definimos a função intermediária
u(x)=5\operatorname{tg}(\sqrt{x}),
de modo que y=e^{u(x)}. Aplicando a regra da cadeia à exponencial:
y' = u'(x)\,e^{u(x)}.
Agora precisamos calcular u'(x).

Passo 5

Calcular u'(x). Usamos que u(x)=5\cdot \operatorname{tg}(\sqrt{x}). Pela regra da constante multiplicativa,
u'(x)=5\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\sqrt{x}).
Agora aplicamos a regra da cadeia à \operatorname{tg}(\sqrt{x}): se w(x)=\operatorname{tg}(v(x)) então w'(x)=\operatorname{sec}^{2}(v(x))\cdot v'(x). Aqui v(x)=\sqrt{x} e v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Assim
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\sqrt{x})=\operatorname{sec}^{2}(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto
u'(x)=5\cdot\operatorname{sec}^{2}(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{5}{2\sqrt{x}}\operatorname{sec}^{2}(\sqrt{x}).

Passo 6

Voltar para y'. Substituindo u'(x) e u(x) em y' = u'(x)e^{u(x)}, obtemos
y'=\frac{5}{2\sqrt{x}}\operatorname{sec}^{2}(\sqrt{x})\;e^{5\operatorname{tg}(\sqrt{x})}.
Pronto — essa é a derivada desejada. Dá para escrever as coisas em ordem diferente, mas essa forma já é bem clara.

Resposta

y'=\frac{5}{2\sqrt{x}}\operatorname{sec}^{2}(\sqrt{x})\,e^{5\operatorname{tg}(\sqrt{x})}

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