Derive as seguintes funções:
y=e^{5 \operatorname{tg}(\sqrt{x})}
y=e^{5 \operatorname{tg}(\sqrt{x})}
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
definida por
Informações dadas:
- A função é uma composição de várias funções: exponencial, tangente (aqui escrita como
) e raiz quadrada. - O objetivo é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Plano de ataque (sem calcular ainda): como a função é uma composição em cascata, a gente vai aplicar a regra da cadeia várias vezes. A ideia é escrever a parte de cima como uma função
e usar que a derivada de
é
. Depois vamos derivar
também com a regra da cadeia. Segura que a gente vai passando passo a passo.
Passo 3
Lembrete da regra da cadeia e regras que vou usar:
- Regra da cadeia (forma básica): se
, então
Aqui
é a função externa e
a interna;
significa derivar
em termos de sua variável e depois avaliar em
.
- Derivada da exponencial: para
,
- Derivada da tangente: para
,
- Derivada da raiz quadrada:
, então
Essas são as ferramentas; agora aplicamos ao problema concreto.
Passo 4
Definimos a função intermediária
de modo que
. Aplicando a regra da cadeia à exponencial:
Agora precisamos calcular
.
Passo 5
Calcular
. Usamos que
. Pela regra da constante multiplicativa,
Agora aplicamos a regra da cadeia à
: se
então
. Aqui
e
. Assim
Portanto
Passo 6
Voltar para
. Substituindo
e
em
, obtemos
Pronto — essa é a derivada desejada. Dá para escrever as coisas em ordem diferente, mas essa forma já é bem clara.