Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que
é diferenciável:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Derivar a função
. - Indicar os pontos em que
é diferenciável.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há restrição explícita de domínio no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar (de forma didática) as regras que vamos usar:
- Regra do produto (valida também no contexto complexo): se
então
Aqui
e
são funções complexas diferenciáveis.
- Regra da cadeia para potência inteira: se
com inteiro positivo e diferenciável, então
- Derivada de uma função linear
é . No nosso caso, a derivada de é .
Estas regras são as mesmas do cálculo real; em complexos elas valem porque a diferenciação local é definida da mesma forma e operações algébricas preservam diferenciabilidade.
Passo 3
Defino as duas funções que aparecem no produto para aplicar a regra do produto de forma organizada:
Queremos
.
Passo 4
Calculo
aplicando a regra da cadeia (potência):
- A função interna é
. Sua derivada é . - Aplicando a fórmula da potência,
Logo
Passo 5
Calculo
:
- A função interna é
. Sua derivada é . - Aplicando a fórmula da potência (expoente 2),
Logo
Passo 6
Aplico a regra do produto substituindo
:
Passo 7
Fatoro fatores comuns para simplificar a expressão. Observa-se que
e
são fatores comuns:
Passo 8
Simplifico o colchete passo a passo:
- Expando
. - Expando
porque .
Somando:
Fatorando
deste polinômio obtemos
.
Passo 9
Substituindo essa simplificação na expressão fatorada:
Esta é uma forma compacta e factorizada da derivada.
Passo 10
Sobre os pontos de diferenciabilidade: a função
é produto de potências de polinômios em
. Polinômios complexos são funções inteiras (holomorfas em todo
). Pelo fato de que soma, produto e composição de funções holomorfas são holomorfas, conclui-se que
é diferenciável em todo o plano complexo
.