Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que f(z) é diferenciável:
c) f(z)=\left(z^{2}-i\right)^{3} \cdot(i z+1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Derivar a função f(z)=\bigl(z^{2}-i\bigr)^{3}\cdot\bigl(i z+1\bigr)^{2}.
  • Indicar os pontos em que f(z) é diferenciável.
Informações dadas:
  • A função é f(z)=\bigl(z^{2}-i\bigr)^{3}\bigl(i z+1\bigr)^{2}.
  • Não há restrição explícita de domínio no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar (de forma didática) as regras que vamos usar:
  • Regra do produto (valida também no contexto complexo): se f(z)=u(z)\,v(z) então
f'(z)=u'(z)\,v(z)+u(z)\,v'(z).
Aqui u e v são funções complexas diferenciáveis.
  • Regra da cadeia para potência inteira: se u(z)=\bigl(g(z)\bigr)^{n} com n inteiro positivo e g diferenciável, então
u'(z)=n\bigl(g(z)\bigr)^{n-1}\,g'(z).
  • Derivada de uma função linear \ell(z)=az+b é \ell'(z)=a. No nosso caso, a derivada de i z+1 é i.
    Estas regras são as mesmas do cálculo real; em complexos elas valem porque a diferenciação local é definida da mesma forma e operações algébricas preservam diferenciabilidade.

Passo 3

Defino as duas funções que aparecem no produto para aplicar a regra do produto de forma organizada:
u(z)=\bigl(z^{2}-i\bigr)^{3},\qquad v(z)=\bigl(i z+1\bigr)^{2}.
Queremos f'(z)=u'(z)\,v(z)+u(z)\,v'(z).

Passo 4

Calculo u'(z) aplicando a regra da cadeia (potência):
  • A função interna é g(z)=z^{2}-i. Sua derivada é g'(z)=2z.
  • Aplicando a fórmula da potência,
u'(z)=3\bigl(z^{2}-i\bigr)^{2}\cdot g'(z)=3\bigl(z^{2}-i\bigr)^{2}\cdot 2z.
Logo
u'(z)=6z\bigl(z^{2}-i\bigr)^{2}.

Passo 5

Calculo v'(z):
  • A função interna é h(z)=i z+1. Sua derivada é h'(z)=i.
  • Aplicando a fórmula da potência (expoente 2),
v'(z)=2\bigl(i z+1\bigr)\cdot h'(z)=2\bigl(i z+1\bigr)\cdot i.
Logo
v'(z)=2i\bigl(i z+1\bigr).

Passo 6

Aplico a regra do produto substituindo u, u', v, v':
f'(z)=\bigl[6z\bigl(z^{2}-i\bigr)^{2}\bigr]\cdot\bigl(i z+1\bigr)^{2} +\bigl(z^{2}-i\bigr)^{3}\cdot\bigl[2i\bigl(i z+1\bigr)\bigr].

Passo 7

Fatoro fatores comuns para simplificar a expressão. Observa-se que \bigl(z^{2}-i\bigr)^{2} e \bigl(i z+1\bigr) são fatores comuns:
\begin{aligned} f'(z) &=\bigl(z^{2}-i\bigr)^{2}\bigl(i z+1\bigr) \Bigl[6z\bigl(i z+1\bigr)+2i\bigl(z^{2}-i\bigr)\Bigr]. \end{aligned}

Passo 8

Simplifico o colchete passo a passo:
  • Expando 6z(i z+1)=6i z^{2}+6z.
  • Expando 2i(z^{2}-i)=2i z^{2}-2i^{2}=2i z^{2}+2 porque i^{2}=-1.
    Somando:
6i z^{2}+6z + 2i z^{2}+2 = (6i+2i)z^{2}+6z+2 = 8i z^{2}+6z+2.
Fatorando 2 deste polinômio obtemos 2\bigl(4i z^{2}+3z+1\bigr).

Passo 9

Substituindo essa simplificação na expressão fatorada:
f'(z)=2\bigl(z^{2}-i\bigr)^{2}\bigl(i z+1\bigr)\bigl(4i z^{2}+3z+1\bigr).
Esta é uma forma compacta e factorizada da derivada.

Passo 10

Sobre os pontos de diferenciabilidade: a função f é produto de potências de polinômios em z. Polinômios complexos são funções inteiras (holomorfas em todo \mathbb{C}). Pelo fato de que soma, produto e composição de funções holomorfas são holomorfas, conclui-se que f é diferenciável em todo o plano complexo \mathbb{C}.

Resposta

f'(z)=2\bigl(z^{2}-i\bigr)^{2}\bigl(i z+1\bigr)\bigl(4i z^{2}+3z+1\bigr)
f é diferenciável para todo z\in\mathbb{C}.

Exercícios relacionados