Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que
é diferenciável:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a derivada da função
. - Indicar os pontos em que
é diferenciável (isto é, onde a derivada existe).
Informações dadas explicitamente:
- O numerador é
. - O denominador é
.
A resolução seguirá calculando a derivada por regras usuais (produto/quotient rule) e depois determinará o domínio de diferenciabilidade a partir dos zeros do denominador.
Passo 2
Conceitos e regras que vou usar (explicação didática e curta):
- Em análise complexa, as regras de diferenciação (derivada da soma, produto, quociente, cadeia) são as mesmas fórmulas algébricas que se usa para funções reais. Ou seja, para funções racionais a derivada é obtida pelo mesmo procedimento do cálculo real.
- A regra do quociente: para
com , vale
Explicando as peças:
é a derivada do numerador,
a derivada do denominador; o denominador final é o quadrado de
.
- Sobre diferenciabilidade: uma função racional (fração de polinômios) é holomorfa (diferenciável em sentido complexo) em todo ponto onde o denominador não se anula. Portanto os únicos problemas são os zeros do denominador, que geram singularidades (pólos se são zeros simples).
Passo 3
Calcular derivadas elementares das partes:
- Numerador:
. Aplicando regra de potência,
- Denominador:
. Aqui uso a regra do produto. Se e , então
Calcule cada derivada:
Portanto
Passo 4
Simplificar
e também expandir
para facilitar a simplificação final.
- Expandindo
. - Somando com
obtemos
- Também expandimos
para usar depois:
Agora aplico a regra do quociente:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 5
Fazer a expansão e simplificação do numerador passo a passo (para que dê para reproduzir na prova sem calculadora, mostrando cada termo):
- Expansão de
:
Logo essa parte é
.
- Expansão de
:
Somando:
.
- Subtraindo as duas parcelas (numerador):
Agora subtrai termo a termo:
e o constante fica
.
Portanto o numerador simplificado é
Portanto o numerador simplificado é
Assim a derivada final simplificada é
É mais elegante reescrever o denominador em termos dos fatores originais (útil para analisar zeros):
Portanto
Passo 6
Determinar os pontos de diferenciabilidade:
- A derivada
existe exatamente onde o denominador de é não nulo (pois a fórmula do quociente só vale com ), isto é, onde . - Zeros do denominador:
-
dá . -
tem raízes (usar fórmula quadrática: ).
-
- Conclusão sobre diferenciabilidade:
é diferenciável em todo exceto nos pontos e . Nesses três pontos tem singularidades (são pólos simples, porque cada fator no denominador é de multiplicidade 1 e o numerador não anula simultaneamente nesses pontos — pode-se verificar que não zera o numerador: , e em também o numerador vale , portanto pólos simples).
Resposta
f é diferenciável em