Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que f(z) é diferenciável:
d) f(z)=\frac{z^{2}+1}{(z+2) \cdot\left(z^{2}+2 z+2\right)}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a derivada da função \displaystyle f(z)=\frac{z^{2}+1}{(z+2)\cdot\left(z^{2}+2z+2\right)}.
  • Indicar os pontos em que f(z) é diferenciável (isto é, onde a derivada existe).
Informações dadas explicitamente:
  • O numerador é \displaystyle N(z)=z^{2}+1.
  • O denominador é \displaystyle D(z)=(z+2)\,(z^{2}+2z+2).
A resolução seguirá calculando a derivada por regras usuais (produto/quotient rule) e depois determinará o domínio de diferenciabilidade a partir dos zeros do denominador.

Passo 2

Conceitos e regras que vou usar (explicação didática e curta):
  • Em análise complexa, as regras de diferenciação (derivada da soma, produto, quociente, cadeia) são as mesmas fórmulas algébricas que se usa para funções reais. Ou seja, para funções racionais a derivada é obtida pelo mesmo procedimento do cálculo real.
  • A regra do quociente: para \displaystyle f(z)=\frac{N(z)}{D(z)} com D(z)\neq0, vale
f'(z)=\frac{N'(z)\,D(z)-N(z)\,D'(z)}{D(z)^{2}}.
Explicando as peças: N'(z) é a derivada do numerador, D'(z) a derivada do denominador; o denominador final é o quadrado de D(z).
  • Sobre diferenciabilidade: uma função racional (fração de polinômios) é holomorfa (diferenciável em sentido complexo) em todo ponto onde o denominador não se anula. Portanto os únicos problemas são os zeros do denominador, que geram singularidades (pólos se são zeros simples).

Passo 3

Calcular derivadas elementares das partes:
  • Numerador: N(z)=z^{2}+1. Aplicando regra de potência,
N'(z)=2z.
  • Denominador: D(z)=(z+2)\,(z^{2}+2z+2). Aqui uso a regra do produto. Se u(z)=z+2 e v(z)=z^{2}+2z+2, então
D'(z)=u'(z)\,v(z)+u(z)\,v'(z).
Calcule cada derivada:
u'(z)=1,\qquad v'(z)=2z+2.
Portanto
D'(z)=(z^{2}+2z+2)+(z+2)(2z+2).

Passo 4

Simplificar D'(z) e também expandir D(z) para facilitar a simplificação final.
  • Expandindo (z+2)(2z+2)=2(z+2)(z+1)=2(z^{2}+3z+2)=2z^{2}+6z+4.
  • Somando com z^{2}+2z+2 obtemos
D'(z)=z^{2}+2z+2+2z^{2}+6z+4=3z^{2}+8z+6.
  • Também expandimos D(z) para usar depois:
D(z)=(z+2)(z^{2}+2z+2)=z^{3}+4z^{2}+6z+4.
Agora aplico a regra do quociente:
f'(z)=\frac{N'(z)\,D(z)-N(z)\,D'(z)}{D(z)^{2}}.
Substituindo N'(z)=2z, N(z)=z^{2}+1, D(z)=z^{3}+4z^{2}+6z+4 e D'(z)=3z^{2}+8z+6, obtemos
f'(z)=\frac{2z\,(z^{3}+4z^{2}+6z+4)-(z^{2}+1)(3z^{2}+8z+6)}{\big(z^{3}+4z^{2}+6z+4\big)^{2}}.

Passo 5

Fazer a expansão e simplificação do numerador passo a passo (para que dê para reproduzir na prova sem calculadora, mostrando cada termo):
  • Expansão de 2z\cdot(z^{3}+4z^{2}+6z+4):
2z\cdot(z^{3})=2z^{4},\quad 2z\cdot(4z^{2})=8z^{3},\quad 2z\cdot(6z)=12z^{2},\quad 2z\cdot 4=8z.
Logo essa parte é 2z^{4}+8z^{3}+12z^{2}+8z.
  • Expansão de (z^{2}+1)(3z^{2}+8z+6):
z^{2}\cdot(3z^{2}+8z+6)=3z^{4}+8z^{3}+6z^{2},
1\cdot(3z^{2}+8z+6)=3z^{2}+8z+6.
Somando: 3z^{4}+8z^{3}+9z^{2}+8z+6.
  • Subtraindo as duas parcelas (numerador):
\big(2z^{4}+8z^{3}+12z^{2}+8z\big)-\big(3z^{4}+8z^{3}+9z^{2}+8z+6\big).
Agora subtrai termo a termo:
2z^{4}-3z^{4}=-z^{4},
8z^{3}-8z^{3}=0,
12z^{2}-9z^{2}=3z^{2},
8z-8z=0,
e o constante fica 0-6=-6.
Portanto o numerador simplificado é
-z^{4}+3z^{2}-6.
Assim a derivada final simplificada é
f'(z)=\frac{-z^{4}+3z^{2}-6}{\big(z^{3}+4z^{2}+6z+4\big)^{2}}.
É mais elegante reescrever o denominador em termos dos fatores originais (útil para analisar zeros):
\big(z^{3}+4z^{2}+6z+4\big)^{2}=\big((z+2)(z^{2}+2z+2)\big)^{2}=(z+2)^{2}\,(z^{2}+2z+2)^{2}.
Portanto
f'(z)=-\frac{z^{4}-3z^{2}+6}{(z+2)^{2}\,(z^{2}+2z+2)^{2}}.

Passo 6

Determinar os pontos de diferenciabilidade:
  • A derivada f'(z) existe exatamente onde o denominador de f(z) é não nulo (pois a fórmula do quociente só vale com D(z)\neq0), isto é, onde (z+2)(z^{2}+2z+2)\neq0.
  • Zeros do denominador:
    • \displaystyle z+2=0 z=-2.
    • \displaystyle z^{2}+2z+2=0 tem raízes \displaystyle z=-1\pm i (usar fórmula quadrática: z=\frac{-2\pm\sqrt{4-8}}{2}=-1\pm i).
  • Conclusão sobre diferenciabilidade: f é diferenciável em todo z\in\mathbb{C} exceto nos pontos z=-2 e z=-1\pm i. Nesses três pontos f tem singularidades (são pólos simples, porque cada fator no denominador é de multiplicidade 1 e o numerador não anula simultaneamente nesses pontos — pode-se verificar que z=-2 não zera o numerador: (-2)^{2}+1=5\neq0, e em z=-1\pm i também o numerador vale ((-1\pm i)^{2}+1)\neq0, portanto pólos simples).

Resposta

f'(z)=-\frac{z^{4}-3z^{2}+6}{(z+2)^{2}\,(z^{2}+2z+2)^{2}}
f é diferenciável em \displaystyle \mathbb{C}\setminus\{-2,-1+i,-1-i\}

Exercícios relacionados