Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que f(z) é diferenciável:
a) f(z)=1-z^{2}+4 i z^{5}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(z)=1-z^{2}+4 i z^{5} e indicar os pontos em que f é diferenciável.
Informações dadas:
  • A função é f(z)=1-z^{2}+4 i z^{5}.
  • Não há restrições explícitas sobre z; presume-se z\in\mathbb{C}.
O que é solicitado:
  • Encontrar f'(z) (derivada complexa).
  • Dizer para quais z essa derivada existe (ou seja, onde f é diferenciável).

Passo 2

Lembrete rápido e regras que vou usar (mini-aula):
  • Definição de derivada complexa: a derivada de f em z é
f'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h},
quando esse limite existe (o limite deve ser o mesmo independentemente da direção por onde h tende a zero no plano complexo).
  • Regras úteis (são válidas para funções complexas da mesma forma que para reais):
    • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
    • A derivada de uma constante é zero.
    • A derivada de um produto por constante (complexa) é a constante vezes a derivada.
    • Regra do poder (para inteiros positivos): para n\in\mathbb{N},
    \frac{d}{dz} z^{n}=n z^{n-1}.
Essas regras tornam a diferenciação de polinômios direta.
Vou justificar rapidamente a regra do poder (porque é ótima para prova): pegue n\in\mathbb{N}. Pelo binômio de Newton,
(z+h)^{n}-z^{n}=n z^{n-1}h + \text{termos que contêm }h^{2}.ê
Dividindo por h e fazendo h\to0, os termos com h e potências superiores vão a zero, sobrando n z^{n-1}. Portanto
\lim_{h\to0}\frac{(z+h)^{n}-z^{n}}{h}=n z^{n-1},
o que prova a regra do poder para n inteiro positivo. Isso mostra também que z\mapsto z^{n} é diferenciável em todo \mathbb{C}.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso f. Vamos derivar termo a termo.
  • A derivada de 1 é 0, porque constante.
  • A derivada de -z^{2} é, usando a regra do poder e linearidade:
\frac{d}{dz}(-z^{2}) = - \frac{d}{dz}(z^{2}) = - 2 z.
  • A derivada de 4 i z^{5}: aqui 4i é uma constante complexa. Pela linearidade,
\frac{d}{dz}(4 i z^{5}) = 4 i \cdot \frac{d}{dz}(z^{5}) = 4 i \cdot 5 z^{4} = 20 i z^{4}.

Passo 4

Somando as derivadas dos termos obtemos
f'(z)=0 - 2 z + 20 i z^{4}.
Ou seja,
f'(z) = -2 z + 20 i z^{4}.

Passo 5

Sobre onde f é diferenciável (mini-explicação e conclusão):
  • Cada monômio z^{n} é diferenciável em todo \mathbb{C} (mostrei a ideia do limite no Passo 2).
  • Soma e múltiplo por constantes de funções diferenciáveis permanecem diferenciáveis.
  • Logo f(z)=1-z^{2}+4 i z^{5} é diferenciável em todo o plano complexo \mathbb{C}. Dizemos que f é uma função inteira (holomorfa em \mathbb{C}).
Dica de prova/exame: em questões como essa, aplicar diretamente a regra do poder e linearidade é a via mais rápida; se pedirem justificar diferenciabilidade ponto a ponto, basta argumentar que é polinômio (logo inteiro) ou usar Cauchy–Riemann caso queira verificar explicitamente.

Resposta

f'(z)=-2 z + 20 i z^{4}
f é diferenciável para todo z\in\mathbb{C}.

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