Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que
é diferenciável:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
e indicar os pontos em que
é diferenciável.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há restrições explícitas sobre
; presume-se .
O que é solicitado:
- Encontrar
(derivada complexa). - Dizer para quais
essa derivada existe (ou seja, onde é diferenciável).
Passo 2
Lembrete rápido e regras que vou usar (mini-aula):
- Definição de derivada complexa: a derivada de
em é
quando esse limite existe (o limite deve ser o mesmo independentemente da direção por onde
tende a zero no plano complexo).
- Regras úteis (são válidas para funções complexas da mesma forma que para reais):
- A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- A derivada de uma constante é zero.
- A derivada de um produto por constante (complexa) é a constante vezes a derivada.
- Regra do poder (para inteiros positivos): para
,
Essas regras tornam a diferenciação de polinômios direta.
Vou justificar rapidamente a regra do poder (porque é ótima para prova): pegue
. Pelo binômio de Newton,
Dividindo por
e fazendo
, os termos com
e potências superiores vão a zero, sobrando
. Portanto
o que prova a regra do poder para
inteiro positivo. Isso mostra também que
é diferenciável em todo
.
Passo 3
Aplicando as regras ao nosso
. Vamos derivar termo a termo.
- A derivada de
é , porque constante. - A derivada de
é, usando a regra do poder e linearidade:
- A derivada de
: aqui é uma constante complexa. Pela linearidade,
Passo 4
Somando as derivadas dos termos obtemos
Ou seja,
Passo 5
Sobre onde
é diferenciável (mini-explicação e conclusão):
- Cada monômio
é diferenciável em todo (mostrei a ideia do limite no Passo 2). - Soma e múltiplo por constantes de funções diferenciáveis permanecem diferenciáveis.
- Logo
é diferenciável em todo o plano complexo . Dizemos que é uma função inteira (holomorfa em ).
Dica de prova/exame: em questões como essa, aplicar diretamente a regra do poder e linearidade é a via mais rápida; se pedirem justificar diferenciabilidade ponto a ponto, basta argumentar que é polinômio (logo inteiro) ou usar Cauchy–Riemann caso queira verificar explicitamente.