Derive as seguintes funções, usando apenas as propriedades básicas de derivação.
f(x)=(x^5-1)/(x^3+x+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Isso entra no conteúdo de cálculo diferencial, especificamente usando as propriedades básicas de derivação, como a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da função que correspondem ao numerador e denominador. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Lembra da regra do quociente? Ela diz que a derivada de uma função que é o quociente de duas funções e é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar .

Passo 4

Agora, vamos derivar e separadamente.
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 5

Substituindo , , e na fórmula da regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expandimos cada termo:
Agora, subtraímos o segundo resultado do primeiro:

Passo 7

Então, a derivada simplificada fica:

Resposta

A derivada de é:

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