Verifique se a função f(x) é contínua em x = 1 e se é derivável em x = 1.
f(x) = { -x, se x < 1; 1/raiz(x), se x ≥ 1 }

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a função é contínua e derivável em . A matéria envolvida aqui é continuidade e derivabilidade de funções, que são conceitos fundamentais em cálculo. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e derivável em um ponto, além de calcular limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é contínua em . Para uma função ser contínua nesse ponto, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 1 e também ao limite quando se aproxima de 1 pela direita.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ):
A função para é .

Passo 4

Agora, o valor da função em :
Para , .

Passo 5

Vamos calcular o limite pela direita ( ):

Passo 6

Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em .

Passo 7

Já que a função não é contínua em , ela também não é derivável nesse ponto. Porque para uma função ser derivável, ela precisa ser contínua nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua e não é derivável em .

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