Verifique se a função
é contínua em
e se é derivável em
.
Passo 1
Beleza, vamos verificar se a função
é contínua e derivável em
. A matéria envolvida aqui é continuidade e derivabilidade de funções, que são conceitos fundamentais em cálculo. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e derivável em um ponto, além de calcular limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é contínua em
. Para uma função ser contínua nesse ponto, o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 1 e também ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda (
):
A função para
é
.
Passo 4
Agora, o valor da função em
:
Para
,
.
Passo 5
Vamos calcular o limite pela direita (
):
Passo 6
Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em
.
Passo 7
Já que a função não é contínua em
, ela também não é derivável nesse ponto. Porque para uma função ser derivável, ela precisa ser contínua nesse ponto.
Resposta
A função
não é contínua e não é derivável em
.