Derive e simplifique.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de y = tg²(sen(θ)), ou seja y = tan²(sin θ), aplicando regras de derivação como cadeia e conhecendo as derivadas de tan u e sin θ.
Passo 2
Definimos duas funções auxiliares: u(θ) = tan(sin θ) e y(u) = u². Vamos usar a regra da cadeia em duas etapas.
Passo 3
Calculamos dy/du: como y = u², temos dy/du = 2u.
Passo 4
Calculamos du/dθ: sendo u = tan(w) com w = sin θ, aplicamos cadeia em u. Primeiro du/dw = sec²(w), depois dw/dθ = cos θ. Logo du/dθ = sec²(sin θ)·cos θ.
Passo 5
Agora juntamos: dy/dθ = (dy/du)·(du/dθ) = 2u · [sec²(sin θ)·cos θ] = 2 tan(sin θ) · sec²(sin θ) · cos θ.
Passo 6
Para simplificar, note que sec²(sin θ)=1/[cos²(sin θ)]. Então
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