Determine a distância entre o ponto (2,8,5) e o plano dado por x-2 y-2 z=1. faça o mesmo para o ponto ( 3,-2,7 ) e o plano 4 x-6 y+z=5.

Passo 1

A gente precisa calcular a distância de um ponto a um plano no espaço 3D. O conteúdo aqui é geometria analítica, especificamente a distância de um ponto a um plano. Para isso vamos usar a fórmula que, dado o plano na forma geral ax+by+cz+d=0 e o ponto (x0,y0,z0), é:
d = l|a x0 + b y0 + c z0 + dr|raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 2

Para o ponto (2,8,5) e o plano x - 2y - 2z = 1, primeiro escrevemos o plano na forma ax+by+cz+d=0:
x - 2y - 2z - 1 = 0 Aqui a=1, b=-2, c=-2 e d=-1. Substituindo na fórmula:
num = |1cdot2 + (-2)cdot8 + (-2)cdot5 + (-1)| = |2 -16 -10 -1| = 25
$$den = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = 3
$$ Portanto a distância é den = raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1+4+4 = 3 .

Passo 3

Para o ponto (3,-2,7) e o plano 4x - 6y + z = 5, reescrevemos como 4x -6y + z -5 = 0, então a=4, b=-6, c=1, d=-5. Substituindo na fórmula:
num = |4cdot3 + (-6)cdot(-2) + 1cdot7 + (-5)| = |12 +12 +7 -5| = 26
$$den = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 1^2} = \sqrt{16+36+1} = \sqrt{53}
$$ Logo a distância é den = raiz4^2 + (-6)^2 + 1^2 = raiz16+36+1 = raiz53 .

Resposta

Para (2,8,5) e x-2y-2z=1: 25/3. Para (3,-2,7) e 4x-6y+z=5: 26/raiz53.

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