Derive e simplifique.
y=3 x^5+8 x^2, f^(n)(x) ; n in N

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função y=3x^5+8x^2. O conteúdo é derivadas de monômios e vamos usar a regra que nos dá a derivada de ordem n de x^k.

Passo 2

Para identificar o padrão, calculamos as primeiras derivadas e vemos como o coeficiente e o expoente mudam:
y'=15x^4+16x
y''=60x^3+16
y'''=180x^2
y^(4)=360x
y^(5)=360
y^(6)=0

Passo 3

Percebemos que, a cada derivada, o expoente cai em 1 e o coeficiente é multiplicado pelo expoente anterior. Em geral, para n<= k,
d^ndx^nl(x^kr)=k!(k-n)!,x^k-n, e para n>k essa derivada é zero.

Passo 4

Agora aplicamos a esse polinômio:
  • Para 3x^5, a derivada de ordem n é 3cdot5!(5-n)!,x^5-n, válida se n<=5 e zero se n>5.
  • Para 8x^2, a derivada de ordem n é 8cdot2!(2-n)!,x^2-n=16,x^2-n, válida se n<=2 e zero se n>2.

Passo 5

Reunindo os dois termos e observando para quais n eles existem, temos a resposta final.

Resposta

f^(n)(x)= 3dfrac5!(5-n)!,x^5-n+8dfrac2!(2-n)!,x^2-n, & n<=2, 3dfrac5!(5-n)!,x^5-n, & 3<= n<=5, 0, & n>=6

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