Derive e simplifique.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem n da função
. O conteúdo é derivadas de monômios e vamos usar a regra que nos dá a derivada de ordem
de
.
Passo 2
Para identificar o padrão, calculamos as primeiras derivadas e vemos como o coeficiente e o expoente mudam:
Passo 3
Percebemos que, a cada derivada, o expoente cai em 1 e o coeficiente é multiplicado pelo expoente anterior. Em geral, para
,
Passo 4
Agora aplicamos a esse polinômio:
- Para
, a derivada de ordem é , válida se e zero se . - Para
, a derivada de ordem é , válida se e zero se .
Passo 5
Reunindo os dois termos e observando para quais
eles existem, temos a resposta final.