Derive.
y-\frac{t \operatorname{sen} t}{1+t}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{t\,\operatorname{sen} t}{1 + t}.
Aqui vamos usar a regra do quociente e, dentro dela, a regra do produto para derivar o numerador.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
u(t) = t\,\operatorname{sen} t \quad\text{e}\quad v(t) = 1 + t.
Assim, y = \dfrac{u}{v} e aplicaremos
y' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.

Passo 3

Calculamos u'(t) usando a regra do produto em u(t)=t\cdot\operatorname{sen} t:
u'(t) = \frac{d}{dt}[t]\cdot\operatorname{sen} t + t\cdot\frac{d}{dt}[\operatorname{sen} t] = 1\cdot\operatorname{sen} t + t\cdot\cos t = \operatorname{sen} t + t\,\cos t.

Passo 4

Calculamos v'(t) em v(t)=1+t:
v'(t) = 1.

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente:
y' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2} = \frac{(\operatorname{sen} t + t\,\cos t)(1+t) - (t\,\operatorname{sen} t)\cdot1}{(1+t)^2}.

Passo 6

Expandimos e simplificamos o numerador:
(\operatorname{sen} t + t\,\cos t)(1+t) - t\,\operatorname{sen} t = \operatorname{sen} t + t\,\operatorname{sen} t + t\,\cos t + t^2\cos t - t\,\operatorname{sen} t = \operatorname{sen} t + t\,\cos t + t^2\cos t.

Passo 7

Colocando em forma fatorada, o resultado final é
y' = \frac{\operatorname{sen} t + t\,(1+t)\,\cos t}{(1+t)^2}.

Resposta

y' = \frac{\operatorname{sen} t + t\,(1+t)\,\cos t}{(1+t)^2}.

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