Derive.
F(y)-\left(\frac{1}{y^{2}}-\frac{3}{y^{4}}\right)\left(y+5 y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada, em relação a y, da expressão
F(y)\;-\;\Bigl(\frac{1}{y^{2}}-\frac{3}{y^{4}}\Bigr)\,(y+5y^{3}).
Para isso vamos usar as regras de derivação: derivada de soma/diferença, derivada de potência e, quando conveniente, primeiro simplificar o produto interno.

Passo 2

Vamos expandir o produto
\Bigl(\frac{1}{y^{2}}-\frac{3}{y^{4}}\Bigr)\,(y+5y^{3}).
Multiplicando termo a termo, temos
\frac{1}{y^{2}}\cdot y= \frac{1}{y}, \quad \frac{1}{y^{2}}\cdot 5y^{3}=5y, \quad -\frac{3}{y^{4}}\cdot y=-\frac{3}{y^{3}}, \quad -\frac{3}{y^{4}}\cdot 5y^{3}=-\frac{15}{y}.
Somando os resultados em termos homogêneos:
\frac{1}{y}-\frac{15}{y}= -\frac{14}{y},
logo o produto é
5y \;-\;\frac{14}{y}\;-\;\frac{3}{y^{3}}.

Passo 3

Substituindo de volta na expressão original, obtemos
F(y)\;-\;\bigl(5y - \tfrac{14}{y} - \tfrac{3}{y^{3}}\bigr) =F(y)-5y+\frac{14}{y}+\frac{3}{y^{3}}.

Passo 4

Agora derivamos termo a termo:
  • \displaystyle \frac{d}{dy}F(y)=F'(y).
  • \displaystyle \frac{d}{dy}(-5y)=-5.
  • \displaystyle \frac{d}{dy}\Bigl(\frac{14}{y}\Bigr) =14\cdot\frac{d}{dy}(y^{-1})=14\cdot(-1)y^{-2}=-\frac{14}{y^{2}}.
  • \displaystyle \frac{d}{dy}\Bigl(\frac{3}{y^{3}}\Bigr) =3\cdot\frac{d}{dy}(y^{-3})=3\cdot(-3)y^{-4}=-\frac{9}{y^{4}}.
Somando tudo, a derivada é
F'(y)\;-\;5\;-\;\frac{14}{y^{2}}\;-\;\frac{9}{y^{4}}.

Resposta

F'(y)\;-\;5\;-\;\frac{14}{y^{2}}\;-\;\frac{9}{y^{4}}.

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