Resolva as integrais triplas abaixo:
Calcule \iiint_{E} x d V, onde $E=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 \leq x^{2}+(y-\right. \left.1){2}+z{2} \leq 9, x \geq 0, z \geq 0\right}).

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iiint_{E} x \,dV,
em que
E=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\;4\le x^2+(y-1)^2+z^2\le9,\;x\ge0,\;z\ge0\bigr\}.
O conteúdo aqui é uso de coordenadas esféricas (após um deslocamento em y) para avaliar a integral de uma função simples numa casca esférica.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
Y = y-1,
de modo que a condição da casca esférica fica
4 \le x^2 + Y^2 + z^2 \le 9,
e dV = dx\,dY\,dz. A integral continua \iiint_E x\,dV, pois o deslocamento não afeta x nem o elemento de volume.

Passo 3

Em seguida, introduzimos as coordenadas esféricas padrão em (x,Y,z):
\begin{cases} x = \rho\,\sin\varphi\cos\theta,\\\ Y = \rho\,\sin\varphi\sin\theta,\\\ z = \rho\,\cos\varphi, \end{cases}
com Jacobiano
dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Os limites de integração são:
2 \le \rho \le 3 ,\quad 0 \le \varphi \le \tfrac{\pi}{2} \quad(\text{pois }z\ge0) ,\quad -\tfrac{\pi}{2} \le \theta \le \tfrac{\pi}{2} \quad(\text{pois }x\ge0\Rightarrow\cos\theta\ge0).

Passo 5

A integral torna-se
\iiint_{E} x\,dV = \int_{\rho=2}^{3} \int_{\varphi=0}^{\pi/2} \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} \bigl(\rho\sin\varphi\cos\theta\bigr) \bigl(\rho^2\sin\varphi\bigr) \,d\theta\,d\varphi\,d\rho.
Ou seja,
\int_{2}^{3}\!\rho^3\,d\rho \;\times\! \int_{0}^{\pi/2}\!\sin^2\varphi\,d\varphi \;\times\! \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\cos\theta\,d\theta.

Passo 6

Calculamos cada uma:
  1. \displaystyle \int_{2}^{3}\rho^3\,d\rho =\Bigl[\tfrac{\rho^4}{4}\Bigr]_{2}^{3} =\frac{3^4-2^4}{4} =\frac{81-16}{4} =\frac{65}{4}. 2. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^2\varphi\,d\varphi =\frac{\pi}{4}. 3. \displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta =2. Multiplicando tudo:
\frac{65}{4}\times\frac{\pi}{4}\times2 =\frac{65\pi}{8}.

Resposta

\iiint_{E} x\,dV = \frac{65\pi}{8}.

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