Resolva as integrais triplas abaixo:
Calcule
, onde $E=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 \leq x^{2}+(y-\right. \left.1){2}+z{2} \leq 9, x \geq 0, z \geq 0\right}).
Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular
em que
O conteúdo aqui é uso de coordenadas esféricas (após um deslocamento em
) para avaliar a integral de uma função simples numa casca esférica.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis
de modo que a condição da casca esférica fica
e
. A integral continua
, pois o deslocamento não afeta
nem o elemento de volume.
Passo 3
Em seguida, introduzimos as coordenadas esféricas padrão em
:
com Jacobiano
Passo 4
Os limites de integração são:
Passo 5
A integral torna-se
Ou seja,
Passo 6
Calculamos cada uma:
-
2. 3. Multiplicando tudo: