Derive :
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se encontre a sua derivada em relação a
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A função é uma potência de uma soma de exponenciais: a expressão interna é
. - O objetivo é calcular
.
Passo 2
Vou usar a regra da cadeia porque temos uma função composta: uma potência aplicada à função
. Explicando a regra da cadeia de forma simples: se
com
constante, então
Aqui:
-
é a função interna (no nosso caso ); -
é a derivada da função interna com respeito a ; -
é o expoente (no nosso caso ).
Essa fórmula vem da combinação da regra do produto aplicada repetidas vezes ou de mostrar que derivada deé e depois multiplicar pela derivada da inside (cadeia).
Passo 3
Agora calculemos
para
. Usamos a regra básica das exponenciais: para qualquer constante
,
Aplicando isso:
-
, -
.
Portanto
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia com
,
e
, obtemos
Essa é a forma direta e bem simplificada da derivada.
Passo 5
Opcional — interpretação com funções hiperbólicas (ajuda a ver estrutura): lembrando que
e
, podemos escrever
Substituindo na derivada:
Isso é equivalente à forma anterior; fica bonito para interpretar zeros e simetrias (por exemplo em
,
, logo
).