Derive :
y=\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{5}.

Passo 1

O enunciado dá a função y=\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{5} e pede que se encontre a sua derivada em relação a x.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é uma potência de uma soma de exponenciais: a expressão interna é e^{x}+e^{-x}.
  • O objetivo é calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vou usar a regra da cadeia porque temos uma função composta: uma potência aplicada à função u(x)=e^{x}+e^{-x}. Explicando a regra da cadeia de forma simples: se y = [u(x)]^{n} com n constante, então
\frac{dy}{dx}=n\,[u(x)]^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui:
  • u(x) é a função interna (no nosso caso u(x)=e^{x}+e^{-x});
  • u'(x) é a derivada da função interna com respeito a x;
  • n é o expoente (no nosso caso n=5).
    Essa fórmula vem da combinação da regra do produto aplicada repetidas vezes ou de mostrar que derivada de t^n é n t^{n-1} e depois multiplicar pela derivada da inside (cadeia).

Passo 3

Agora calculemos u'(x) para u(x)=e^{x}+e^{-x}. Usamos a regra básica das exponenciais: para qualquer constante a,
\frac{d}{dx}e^{a x}=a\,e^{a x}.
Aplicando isso:
  • \dfrac{d}{dx}e^{x}=1\cdot e^{x}=e^{x},
  • \dfrac{d}{dx}e^{-x}=(-1)\cdot e^{-x}=-e^{-x}.
    Portanto
u'(x)=e^{x}-e^{-x}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia com n=5, u(x)=e^{x}+e^{-x} e u'(x)=e^{x}-e^{-x}, obtemos
\frac{dy}{dx}=5\,[e^{x}+e^{-x}]^{4}\cdot\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr).
Essa é a forma direta e bem simplificada da derivada.

Passo 5

Opcional — interpretação com funções hiperbólicas (ajuda a ver estrutura): lembrando que \operatorname{cosh} x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} e \operatorname{sinh} x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}, podemos escrever
e^{x}+e^{-x}=2\operatorname{cosh} x,\qquad e^{x}-e^{-x}=2\operatorname{sinh} x.
Substituindo na derivada:
\frac{dy}{dx}=5(2\operatorname{cosh} x)^{4}(2\operatorname{sinh} x)=5\cdot 2^{5}\operatorname{cosh}^{4}x\,\operatorname{sinh} x=160\,\operatorname{cosh}^{4}x\,\operatorname{sinh} x.
Isso é equivalente à forma anterior; fica bonito para interpretar zeros e simetrias (por exemplo em x=0, \operatorname{sinh} 0=0, logo \dfrac{dy}{dx}=0).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=5\,(e^{x}+e^{-x})^{4}\,(e^{x}-e^{-x})

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