Derive :
y=3 x^{2}+e^{-x^{3}}+4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função y dada por
y=3x^{2}+e^{-x^{3}}+4.
Informações importantes que temos:
  • A função é soma de três termos: 3x^{2}, e^{-x^{3}} e 4.
  • O objetivo é calcular y'=\dfrac{dy}{dx}, isto é, a derivada em relação a x.

Passo 2

Relembre as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se y=f(x)+g(x) então y'=f'(x)+g'(x).
  • Regra do múltiplo constante e regra do poder (power rule): para f(x)=a\cdot x^{n} com constante a e inteiro n,
f'(x)=a\cdot n x^{n-1}.
Aqui a é um número constante e n é o expoente; por exemplo a derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada da exponencial composta (regra da cadeia): se f(x)=e^{u(x)} onde u(x) é uma função de x, então
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Ou seja, deriva o exterior e^{(\cdot)} mantendo e^{u(x)} e multiplica pela derivada do interior u'(x).
  • Derivada de constante: se c é constante então \dfrac{d}{dx}c = 0.

Passo 3

Derivo o primeiro termo 3x^{2} aplicando a regra do múltiplo constante e o power rule. Aqui a=3 e n=2, logo
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot 2x^{2-1}=3\cdot 2x=6x.
Explicando: primeiro deriva x^{2} para obter 2x e depois multiplica por 3.

Passo 4

Derivo o segundo termo e^{-x^{3}} usando a regra da cadeia. Defino a função interior
u(x)=-x^{3}.
Primeiro calculo u'(x) usando o power rule e a constante -1:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}\bigr)=-1\cdot 3x^{2}=-3x^{2}.
Agora aplico a fórmula da derivada de e^{u(x)}:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{3}}\bigr)=e^{u(x)}\cdot u'(x)=e^{-x^{3}}\cdot\bigl(-3x^{2}\bigr)=-3x^{2}e^{-x^{3}}.
Explicando em palavras: a derivada da exponencial conserva o próprio e^{-x^{3}} e multiplica pela derivada do expoente -x^{3}.

Passo 5

Derivo o terceiro termo, a constante 4. Pela regra da derivada de constantes,
\frac{d}{dx}(4)=0.

Passo 6

Agora reúno as derivadas dos três termos usando a regra da soma:
y' = 6x + \bigl(-3x^{2}e^{-x^{3}}\bigr) + 0.
Simplificando,
y'=6x-3x^{2}e^{-x^{3}}.
Opcionalmente, pode-se fatorar 3x:
y'=3x\bigl(2-xe^{-x^{3}}\bigr),
mas a forma 6x-3x^{2}e^{-x^{3}} já é perfeitamente correta.

Resposta

y'=6x-3x^{2}e^{-x^{3}}

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