Derive :
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
dada por
Informações importantes que temos:
- A função é soma de três termos:
, e . - O objetivo é calcular
, isto é, a derivada em relação a .
Passo 2
Relembre as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
então . - Regra do múltiplo constante e regra do poder (power rule): para
com constante e inteiro ,
Aqui
é um número constante e
é o expoente; por exemplo a derivada de
é
.
- Derivada da exponencial composta (regra da cadeia): se
onde é uma função de , então
Ou seja, deriva o exterior
mantendo
e multiplica pela derivada do interior
.
- Derivada de constante: se
é constante então .
Passo 3
Derivo o primeiro termo
aplicando a regra do múltiplo constante e o power rule. Aqui
e
, logo
Explicando: primeiro deriva
para obter
e depois multiplica por
.
Passo 4
Derivo o segundo termo
usando a regra da cadeia. Defino a função interior
Primeiro calculo
usando o power rule e a constante
:
Agora aplico a fórmula da derivada de
:
Explicando em palavras: a derivada da exponencial conserva o próprio
e multiplica pela derivada do expoente
.
Passo 5
Derivo o terceiro termo, a constante
. Pela regra da derivada de constantes,
Passo 6
Agora reúno as derivadas dos três termos usando a regra da soma:
Simplificando,
Opcionalmente, pode-se fatorar
:
mas a forma
já é perfeitamente correta.