Derive
y=\sin ^{7}(3 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = \sin^{7}(3x)
e pede a derivada y'. O conteúdo envolve a regra de cadeia em dois níveis: primeiro para a potência sete e depois para a função seno composta com 3x.

Passo 2

Vamos definir uma função intermediária
u = \sin(3x),
de modo que
y = u^{7}.
Aplicando a derivada de u^{7} em relação a u, temos
\frac{dy}{du} = 7\,u^{6}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u = \sin(3x) em relação a x. Pela regra da cadeia para \sin(v) com v=3x:
\frac{du}{dx} = \cos(3x)\,\cdot\,\frac{d}{dx}(3x) = 3\cos(3x).

Passo 4

Compondo pelas duas etapas da regra de cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = 7\,u^{6}\;\times\;3\cos(3x) = 21\,\bigl(\sin(3x)\bigr)^{6}\cos(3x).

Resposta

\frac{dy}{dx} = 21\,\sin^{6}(3x)\,\cos(3x).

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