Derive
y=(\sin (2 x)+\cos (3 x))^{21}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \bigl(\sin(2x) + \cos(3x)\bigr)^{21}.
Vamos usar a regra da cadeia, que afirma que se y = \bigl(u(x)\bigr)^n, então
y' = n\,u(x)^{\,n-1}\,u'(x),
além das derivadas básicas de funções trigonométricas:
\frac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax), \quad \frac{d}{dx}\cos(ax) = -a\sin(ax).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = \sin(2x) + \cos(3x).
A função externa é y = \bigl(u(x)\bigr)^{21}. Aplicando a regra da cadeia,
y' = 21\,u(x)^{20}\,u'(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x). Pela soma das derivadas temos:
\frac{d}{dx}\sin(2x) = 2\cos(2x), \quad \frac{d}{dx}\cos(3x) = -3\sin(3x).
Logo,
u'(x) = 2\cos(2x) - 3\sin(3x).

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em y', obtemos
y' = 21 \bigl(\sin(2x) + \cos(3x)\bigr)^{20}\,\bigl(2\cos(2x) - 3\sin(3x)\bigr).

Resposta

y' = 21 \bigl(\sin(2x) + \cos(3x)\bigr)^{20}\,\bigl(2\cos(2x) - 3\sin(3x)\bigr).

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