Derive: y=e^{x} \ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada a função \displaystyle y = e^{x}\ln\!\left(x^{2}+1\right).
  • A tarefa é encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja \displaystyle \frac{dy}{dx}.
Informações relevantes que temos (componentes da função):
  • A função é o produto de duas funções dependentes de x: uma é e^{x} e a outra é \ln\!\left(x^{2}+1\right).
  • Para derivar, vamos precisar das regras de derivação para funções exponenciais, logaritmos e para produto de funções.

Passo 2

Apresentando a regra do produto (e o que cada símbolo significa).
  • Se definirmos duas funções \displaystyle u(x) e \displaystyle v(x) e y(x)=u(x)\,v(x), a regra do produto diz:
\frac{dy}{dx}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
  • Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x, e v'(x) é a derivada de v em relação a x.
  • No nosso caso escolhemos:
u(x)=e^{x},\qquad v(x)=\ln\!\left(x^{2}+1\right).
Também precisamos lembrar a derivada de e^{x}:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.
Isto é, a derivada de \displaystyle e^{x} é ela mesma.

Passo 3

Derivando v(x)=\ln\!\left(x^{2}+1\right) passo a passo (regra da cadeia).
  • A regra da cadeia aplicada a \ln(u(x)) diz:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(u(x))\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)},
onde u(x) é uma função de x e u'(x) sua derivada.
  • No nosso caso tome u(x)=x^{2}+1. Então
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x.
  • Logo
v'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto usando os resultados:
  • Temos u'(x)=e^{x} e v(x)=\ln\!\left(x^{2}+1\right).
  • Temos u(x)=e^{x} e v'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}.
  • Pela regra do produto:
\frac{dy}{dx}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) = e^{x}\ln\!\left(x^{2}+1\right) + e^{x}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Simplificação final (fator comum).
  • Nas duas parcelas há um fator comum e^{x}. Fatorando:
\frac{dy}{dx}=e^{x}\left(\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\frac{2x}{x^{2}+1}\right).

Resposta

y'=e^{x}\left(\ln\!\left(x^{2}+1\right)+\frac{2x}{x^{2}+1}\right)

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