Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
z=x^{2}+x y^{3}, x=u v^{2}+w^{3}, y=u+v e^{u} ; \quad \frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial w} quando u=2, \quad v=1, \quad w=0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes relações (peguei tudo do enunciado):
  • z = x^{2} + x y^{3}.
  • x = u v^{2} + w^{3}.
  • y = u + v e^{u}.
Pede-se as derivadas parciais
\dfrac{\partial z}{\partial u}, \dfrac{\partial z}{\partial v} e \dfrac{\partial z}{\partial w}
no ponto u=2,\; v=1,\; w=0.

Passo 2

O que é a Regra da Cadeia neste contexto (explicação didática e curta):
quando z depende de x e y, e x,y por sua vez dependem de u,v,w, cada derivada parcial de z em relação a uma variável como u é a soma das contribuições vindas de x e de y. Em fórmula:
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u},
e análogas para as outras variáveis:
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}, \qquad \frac{\partial z}{\partial w} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial w} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial w}.
Aqui \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} são derivadas parciais de z vistas como função de x,y; e \dfrac{\partial x}{\partial u},\dfrac{\partial y}{\partial u} etc. são as derivadas das funções de substituição.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y (mantendo y constante ao derivar em x, e x constante ao derivar em y):
Derivando z = x^{2} + x y^{3} em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y^{3},
porque a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de x y^{3} em relação a x é y^{3} (tratando y como constante).
Derivando z em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y} = 3x y^{2},
pois x é tratado como constante e a derivada de y^{3} é 3y^{2}, multiplicada por x.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u,v,w.
Para x = u v^{2} + w^{3}:
\frac{\partial x}{\partial u} = v^{2},\qquad \frac{\partial x}{\partial v} = 2u v,\qquad \frac{\partial x}{\partial w} = 3 w^{2}.
Explicação: derivada de u v^{2} em relação a u é v^{2}; em relação a v é 2u v; e w^{3} depende só de w.
Para y = u + v e^{u}:
\frac{\partial y}{\partial u} = 1 + v e^{u},\qquad \frac{\partial y}{\partial v} = e^{u},\qquad \frac{\partial y}{\partial w} = 0.
Explicação: u 1; v e^{u} derivado em u é v e^{u} (produto onde v é constante); em v é e^{u}; não depende de w.

Passo 5

Escrever as fórmulas pela Regra da Cadeia usando os resultados anteriores:
\frac{\partial z}{\partial u} = \bigl(2x + y^{3}\bigr)\,v^{2} + \bigl(3x y^{2}\bigr)\,(1 + v e^{u}),
\frac{\partial z}{\partial v} = \bigl(2x + y^{3}\bigr)\,(2u v) + \bigl(3x y^{2}\bigr)\,e^{u},
\frac{\partial z}{\partial w} = \bigl(2x + y^{3}\bigr)\,(3 w^{2}) + \bigl(3x y^{2}\bigr)\cdot 0.

Passo 6

Para avaliar no ponto dado u=2,\; v=1,\; w=0 precisamos dos valores de x e y nesse ponto. Calcular:
x(2,1,0) = u v^{2} + w^{3} = 2\cdot 1^{2} + 0^{3} = 2,
y(2,1) = u + v e^{u} = 2 + 1\cdot e^{2} = 2 + e^{2}.

Passo 7

Avaliar \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} no ponto (usando x=2 e y=2+e^{2}):
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x=2,y=2+e^{2})} = 2\cdot 2 + (2 + e^{2})^{3} = 4 + (2 + e^{2})^{3},
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(x=2,y=2+e^{2})} = 3\cdot 2 \cdot (2 + e^{2})^{2} = 6(2 + e^{2})^{2}.

Passo 8

Avaliar as derivadas das funções x e y no ponto u=2,\; v=1,\; w=0:
\left.\frac{\partial x}{\partial u}\right|_{(2,1,0)} = v^{2} = 1^{2} = 1, \qquad \left.\frac{\partial x}{\partial v}\right|_{(2,1,0)} = 2u v = 2\cdot 2\cdot 1 = 4, \qquad \left.\frac{\partial x}{\partial w}\right|_{(2,1,0)} = 3 w^{2} = 0.
\left.\frac{\partial y}{\partial u}\right|_{(2,1)} = 1 + v e^{u} = 1 + 1\cdot e^{2} = 1 + e^{2}, \qquad \left.\frac{\partial y}{\partial v}\right|_{(2,1)} = e^{u} = e^{2}, \qquad \left.\frac{\partial y}{\partial w}\right|_{(2,1,0)} = 0.

Passo 9

Substituir tudo nas fórmulas da Regra da Cadeia e simplificar:
Para \dfrac{\partial z}{\partial u} no ponto:
\frac{\partial z}{\partial u} = \bigl(4 + (2 + e^{2})^{3}\bigr)\cdot 1 + 6(2 + e^{2})^{2}\cdot(1 + e^{2}).
Podemos deixar nessa forma ou expandir; esta é uma forma limpa que mostra dependência de e^{2}.
Para \dfrac{\partial z}{\partial v} no ponto:
\frac{\partial z}{\partial v} = \bigl(4 + (2 + e^{2})^{3}\bigr)\cdot 4 + 6(2 + e^{2})^{2}\cdot e^{2}.
Ou seja
\frac{\partial z}{\partial v} = 16 + 4(2 + e^{2})^{3} + 6 e^{2}(2 + e^{2})^{2}.
Para \dfrac{\partial z}{\partial w} no ponto:
\frac{\partial z}{\partial w} = \bigl(4 + (2 + e^{2})^{3}\bigr)\cdot 0 + 6(2 + e^{2})^{2}\cdot 0 = 0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}\bigg|_{(2,1,0)} = 4 + (2 + e^{2})^{3} + 6(2 + e^{2})^{2}(1 + e^{2})
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}\bigg|_{(2,1,0)} = 16 + 4(2 + e^{2})^{3} + 6 e^{2}(2 + e^{2})^{2}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial w}\bigg|_{(2,1,0)} = 0

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