Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. z=x^{2}+x y^{3}, x=u v^{2}+w^{3}, y=u+v e^{u} ; \quad \frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial w} quando u=2, \quad v=1, \quad w=0
Passo 1
O enunciado dá as seguintes relações (peguei tudo do enunciado):
z = x^{2} + x y^{3}.
x = u v^{2} + w^{3}.
y = u + v e^{u}.
Pede-se as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial u}, \dfrac{\partial z}{\partial v} e \dfrac{\partial z}{\partial w}
no ponto u=2,\; v=1,\; w=0.
Passo 2
O que é a Regra da Cadeia neste contexto (explicação didática e curta):
quando z depende de x e y, e x,y por sua vez dependem de u,v,w, cada derivada parcial de z em relação a uma variável como u é a soma das contribuições vindas de x e de y. Em fórmula:
Aqui \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} são derivadas parciais de z vistas como função de x,y; e \dfrac{\partial x}{\partial u},\dfrac{\partial y}{\partial u} etc. são as derivadas das funções de substituição.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y (mantendo y constante ao derivar em x, e x constante ao derivar em y):
Derivando z = x^{2} + x y^{3} em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y^{3},
porque a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de x y^{3} em relação a x é y^{3} (tratando y como constante).
Derivando z em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y} = 3x y^{2},
pois x é tratado como constante e a derivada de y^{3} é 3y^{2}, multiplicada por x.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u,v,w.