Utilize as Equações 7 para determinar
e
.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
onde
depende de
e
(isto é,
). O que é pedido:
- Determinar
. - Determinar
.
Informações relevantes:
e
são variáveis independentes;
é função dessas variáveis mas aparece dentro de
e multiplicando
. Assume-se que as funções envolvidas são diferenciáveis nas regiões consideradas.
Passo 2
Antes de derivar, vamos relembrar duas regras que vamos usar e por que elas valem aqui.
- Regra da cadeia (para derivadas parciais): se
, então ao derivar em relação a (com fixo) aplica-se a cadeia:
Ou seja, derivada de
é
multiplicada pela derivada do argumento.
- Regra do produto (para derivadas parciais): ao derivar um produto de fatores em que alguns dependem de
e outros não, usamos a soma dos termos onde derivamos cada fator mantendo os outros fixos. Por exemplo, se temos e derivamos em relação a (com fixo), temos:
porque a derivada de
é
, de
é
(é constante quando derivamos em
) e de
é
.
Essas duas ideias são tudo que precisamos para diferenciar a equação implícita.
Passo 3
Derivando a equação em relação a
(mantendo
constante):
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito obtemos
Agora isolamos
. Colocando os termos com
no mesmo lado:
Fatorando
:
Finalmente, desde que
, temos
Passo 4
Comentário didático curto sobre o resultado: a derivada parcial
tem um numerador que veio do termo em que derivamos
no produto
(é
) e um denominador que é a diferença entre a derivada de
em relação a
(que é
) e o termo multiplicativo
que acompanhou
do outro lado. Essa estrutura é típica em diferenciação implícita: junta-se os termos contendo
e divide-se pelo coeficiente resultante.
Passo 5
Agora derivamos a equação em relação a
(mantendo
constante). Usamos novamente cadeia e produto:
Derivando,
Isolando
:
Portanto, para
,
Passo 6
Observações finais e dicas para a prova:
- Sempre deixe explícito que
depende de e e aplique cadeia quando aparecer ou qualquer função de . - Ao diferenciar produtos com três fatores, pense em derivar um de cada vez e somar os resultados (derivada de
ou de ou de , conforme a variável em que se diferencia). - Atenção aos pontos em que
: nesses pontos não dá para isolar as derivadas dessa forma (o teorema da função implícita exige que esse coeficiente seja não nulo para garantir existir localmente como função de e que as derivadas existam conforme as fórmulas acima).