Utilize as Equações 7 para determinar \partial z / \partial x e \partial z / \partial y.
e^{z}=x y z

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
e^{z} = x y z
onde z depende de x e y (isto é, z=z(x,y)). O que é pedido:
  • Determinar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
  • Determinar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes: x e y são variáveis independentes; z é função dessas variáveis mas aparece dentro de e^{z} e multiplicando x y. Assume-se que as funções envolvidas são diferenciáveis nas regiões consideradas.

Passo 2

Antes de derivar, vamos relembrar duas regras que vamos usar e por que elas valem aqui.
  1. Regra da cadeia (para derivadas parciais): se z=z(x,y), então ao derivar e^{z(x,y)} em relação a x (com y fixo) aplica-se a cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{z(x,y)}\bigr)=e^{z(x,y)}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}.
Ou seja, derivada de e^{(\cdot)} é e^{(\cdot)} multiplicada pela derivada do argumento.
  1. Regra do produto (para derivadas parciais): ao derivar um produto de fatores em que alguns dependem de x e outros não, usamos a soma dos termos onde derivamos cada fator mantendo os outros fixos. Por exemplo, se temos x\cdot y\cdot z(x,y) e derivamos em relação a x (com y fixo), temos:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x y z\bigr) = (1)\cdot y\cdot z + x\cdot y\cdot\frac{\partial z}{\partial x},
porque a derivada de x é 1, de y é 0 (é constante quando derivamos em x) e de z é \partial z/\partial x.
Essas duas ideias são tudo que precisamos para diferenciar a equação implícita.

Passo 3

Derivando a equação em relação a x (mantendo y constante):
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{z}\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x y z\bigr)
e^{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}=y z + x y \cdot\frac{\partial z}{\partial x}.
Agora isolamos \partial z/\partial x. Colocando os termos com \partial z/\partial x no mesmo lado:
e^{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial x} - x y \cdot\frac{\partial z}{\partial x} = y z.
Fatorando \partial z/\partial x:
\left(e^{z}-x y\right)\frac{\partial z}{\partial x} = y z.
Finalmente, desde que e^{z}-x y \neq 0, temos
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y z}{e^{z}-x y}.

Passo 4

Comentário didático curto sobre o resultado: a derivada parcial \partial z/\partial x tem um numerador que veio do termo em que derivamos x no produto x y z y z) e um denominador que é a diferença entre a derivada de e^{z} em relação a z (que é e^{z}) e o termo multiplicativo x y que acompanhou \partial z/\partial x do outro lado. Essa estrutura é típica em diferenciação implícita: junta-se os termos contendo \partial z/\partial x e divide-se pelo coeficiente resultante.

Passo 5

Agora derivamos a equação em relação a y (mantendo x constante). Usamos novamente cadeia e produto:
Derivando,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{z}\bigr)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y z\bigr)
e^{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}=x z + x y \cdot\frac{\partial z}{\partial y}.
Isolando \partial z/\partial y:
e^{z}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}-x y \cdot\frac{\partial z}{\partial y}=x z
\left(e^{z}-x y\right)\frac{\partial z}{\partial y}=x z.
Portanto, para e^{z}-x y \neq 0,
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x z}{e^{z}-x y}.

Passo 6

Observações finais e dicas para a prova:
  • Sempre deixe explícito que z depende de x e y e aplique cadeia quando aparecer e^{z} ou qualquer função de z.
  • Ao diferenciar produtos com três fatores, pense em derivar um de cada vez e somar os resultados (derivada de x ou de y ou de z, conforme a variável em que se diferencia).
  • Atenção aos pontos em que e^{z}-x y=0: nesses pontos não dá para isolar as derivadas dessa forma (o teorema da função implícita exige que esse coeficiente seja não nulo para garantir existir z localmente como função de x,y e que as derivadas existam conforme as fórmulas acima).

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y z}{e^{z}-x y}
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x z}{e^{z}-x y}

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