Dertermine a única solução da seguinte equação de Euler:
l x^2 y^prime prime+2 x y^prime+2 y=1 y(1)=-1, y^prime(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver uma equação de Euler:
x^2 y'' + 2x y' + 2y = 1
com as condições e . Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especialmente daquelas do tipo Euler, que são super úteis pra esses casos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o 1 do lado direito:
x^2 y'' + 2x y' + 2y = 0
Isso nos ajuda a encontrar a solução geral da parte homogênea da equação.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma y' = m x^m-1, y'' = m(m-1) x^m-2 . Derivando, temos:
x^2 cdot m(m-1) x^m-2 + 2x cdot m x^m-1 + 2x^m = 0
Substituindo na equação homogênea:
m(m-1) x^m + 2m x^m + 2x^m = 0 implies [m(m-1) + 2m + 2] x^m = 0
Simplificando:
m^2 + m + 2 = 0
Portanto, a equação característica é:

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática m = -1 pm raiz1 - 82 = -1 pm iraiz72 usando a fórmula de Bhaskara:
yh(x) = x^alpha [C1 cos(beta ln x) + C2 sin(beta ln x)]
Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
onde e .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp' = 0, yp'' = 0 para a equação completa. Como o lado direito é constante (1), tentamos uma solução particular constante, ou seja, 0 + 0 + 2A = 1 implies A = 12 .
Derivando :
Substituindo na equação:
Então, .

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = x^-1/2 [C1 cos(raiz72 ln x) + C2 sin(raiz72 ln x)] + 12

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar 1^-1/2 [C1 cos(0) + C2 sin(0)] + 12 = -1 implies C1 + 12 = -1 implies C1 = -32 e .
Primeiro, :
Segundo, calculamos e aplicamos . Após derivar e substituir , encontramos que .

Resposta

A única solução da equação de Euler dada é:
y(x) = x^-1/2 [ -32 cos(raiz72 ln x) + 2raiz7 sin(raiz72 ln x) ] + 12

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