Dertermine a única solução da seguinte equação de Euler:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver uma equação de Euler:
com as condições
e
. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais, especialmente daquelas do tipo Euler, que são super úteis pra esses casos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o 1 do lado direito:
Isso nos ajuda a encontrar a solução geral da parte homogênea da equação.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução geral da homogênea é:
onde
e
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como o lado direito é constante (1), tentamos uma solução particular constante, ou seja,
.
Derivando
:
Substituindo na equação:
Então,
.
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Segundo, calculamos
e aplicamos
. Após derivar e substituir
, encontramos que
.
Resposta
A única solução da equação de Euler dada é: