Considere o seguinte problema:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
.
Isso tudo faz parte do estudo das Equações Diferenciais Lineares Não Homogêneas. Vamos precisar usar métodos para encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 3
Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) da equação não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau (
), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Passo 5
Vamos derivar
para substituir na equação original:
Substituindo
,
e
na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 7
Então, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 9
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Passo 10
Agora, derivamos
para aplicar a segunda condição:
Para
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: