Considere o seguinte problema:
l y^prime prime-2 y^prime+y=x^2+1 y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 2y' + y = x^2 + 1
com as condições iniciais e .
Isso tudo faz parte do estudo das Equações Diferenciais Lineares Não Homogêneas. Vamos precisar usar métodos para encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 2y' + y = 0
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = 2 pm 02 = 1
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 3

Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = (C1 + C2 x)e^x
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( y'' - 2y' + y = x^2 + 1 ) da equação não homogênea:
yp(x) = Ax^2 + Bx + C
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau ( ), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:

Passo 5

Vamos derivar yp' = 2Ax + B para substituir na equação original:
yp'' = 2A
2A - 2(2Ax + B) + (Ax^2 + Bx + C) = x^2 + 1
Substituindo 2A - 4Ax - 2B + Ax^2 + Bx + C = x^2 + 1 , Ax^2 + (-4A + B)x + (2A - 2B + C) = x^2 + 1 e na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para A = 1 :
-4A + B = 0 implies -4(1) + B = 0 implies B = 4
  1. Para 2A - 2B + C = 1 implies 2(1) - 2(4) + C = 1 implies 2 - 8 + C = 1 implies C = 7 :
  1. Para o termo constante:

Passo 7

Então, a solução particular é:
yp(x) = 1 cdot x^2 + 4x + 7 = x^2 + 4x + 7

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2 x)e^x + x^2 + 4x + 7

Passo 9

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar y(0) = (C1 + C2 cdot 0)e^0 + 0 + 0 + 7 = C1 + 7 = 1 e implies C1 = 1 - 7 = -6 .
Primeiro, para :

Passo 10

Agora, derivamos y'(x) = ddx[(C1 + C2 x)e^x] + 2x + 4 para aplicar a segunda condição:
= (C2 e^x + (C1 + C2 x)e^x) + 2x + 4
= (C1 + C2 + C2 x)e^x + 2x + 4
y'(0) = (C1 + C2)e^0 + 0 + 4 = C1 + C2 + 4 = -1
Para implies -6 + C2 + 4 = -1 implies C2 = -1 + 6 - 4 = 1 :

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(x) = (-6 + x)e^x + x^2 + 4x + 7

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